Номер 3.62, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.62. Расположите числа в порядке возрастания:

1) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{8}}$, $\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$, $\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}}$;

2) $\left(\frac{4}{3}\right)^{-\frac{7}{11}}$, $\left(\frac{4}{3}\right)^{0}$, $\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{8}}$;

3) $0,12^{-\frac{1}{2}}$, $0,12^{-\frac{1}{8}}$, $0,12^{-\frac{1}{4}}$;

4) $2,24^{-\frac{1}{2}}$, $2,24^{-\frac{1}{8}}$, $2,24^{-\frac{1}{4}}$.

1) Для того чтобы расположить числа $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{8}}$, $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}$, $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{4}}$ в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения. Все числа представляют собой степень с одинаковым основанием $a = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим показательную функцию $y = a^x$. Если основание $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует $a^{x_1} > a^{x_2}$.

В нашем случае основание $a = \frac{1}{2}$, что удовлетворяет условию $0 < \frac{1}{2} < 1$. Следовательно, функция $y = (\frac{1}{2})^x$ является убывающей. Чтобы расположить числа в порядке возрастания, нужно расположить их показатели степени в порядке убывания.

Сравним показатели степеней: $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю 8:

$\frac{1}{8}$, $\frac{4}{8}$, $\frac{2}{8}$.

Расположим эти дроби в порядке убывания: $\frac{4}{8} > \frac{2}{8} > \frac{1}{8}$, что соответствует $\frac{1}{2} > \frac{1}{4} > \frac{1}{8}$.

Так как функция убывающая, то из $\frac{1}{2} > \frac{1}{4} > \frac{1}{8}$ следует, что $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} < (\frac{1}{2})^{\frac{1}{4}} < (\frac{1}{2})^{\frac{1}{8}}$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}$, $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{4}}$, $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{8}}$.

2) Сравним числа $(\frac{4}{3})^{-\frac{7}{11}}$, $(\frac{4}{3})^{0}$, $(\frac{4}{3})^{\frac{1}{3}}$.

Основание степени $a = \frac{4}{3}$. Так как $a > 1$, показательная функция $y = (\frac{4}{3})^x$ является возрастающей. Это означает, что чем больше показатель степени, тем больше значение функции. То есть, из $x_1 < x_2$ следует $a^{x_1} < a^{x_2}$.

Сравним показатели степеней: $-\frac{7}{11}$, $\text{0}$, $\frac{1}{3}$.

Любое отрицательное число меньше нуля, а ноль меньше любого положительного числа. Поэтому:

$-\frac{7}{11} < 0 < \frac{1}{3}$.

Поскольку функция возрастающая, порядок значений степеней будет таким же, как и порядок их показателей:

$(\frac{4}{3})^{-\frac{7}{11}} < (\frac{4}{3})^{0} < (\frac{4}{3})^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $(\frac{4}{3})^{-\frac{7}{11}}$, $(\frac{4}{3})^{0}$, $(\frac{4}{3})^{\frac{1}{3}}$.

3) Сравним числа $0,12^{-\frac{1}{2}}$, $0,12^{-\frac{1}{8}}$, $0,12^{-\frac{1}{4}}$.

Основание степени $a = 0,12$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y = (0,12)^x$ является убывающей. Это значит, что большему показателю степени соответствует меньшее значение функции.

Сравним показатели степеней: $-\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{8}$, $-\frac{1}{4}$.

Для сравнения этих отрицательных дробей, сначала сравним их модули: $\frac{1}{2} = 0,5$; $\frac{1}{8} = 0,125$; $\frac{1}{4} = 0,25$.

В порядке возрастания модули располагаются так: $\frac{1}{8} < \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$.

Для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-\frac{1}{8} > -\frac{1}{4} > -\frac{1}{2}$.

Расположим показатели в порядке убывания: $-\frac{1}{8} > -\frac{1}{4} > -\frac{1}{2}$.

Так как функция убывающая, то значениям степеней будет соответствовать обратный порядок (порядок возрастания):

$0,12^{-\frac{1}{8}} < 0,12^{-\frac{1}{4}} < 0,12^{-\frac{1}{2}}$.

Ответ: $0,12^{-\frac{1}{8}}$, $0,12^{-\frac{1}{4}}$, $0,12^{-\frac{1}{2}}$.

4) Сравним числа $2,24^{-\frac{1}{2}}$, $2,24^{-\frac{1}{8}}$, $2,24^{-\frac{1}{4}}$.

Основание степени $a = 2,24$. Так как $a > 1$, показательная функция $y = (2,24)^x$ является возрастающей. Это значит, что чем больше показатель, тем больше значение функции.

Сравним показатели степеней: $-\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{8}$, $-\frac{1}{4}$.

Как было установлено в предыдущем пункте, порядок возрастания для этих чисел следующий:

$-\frac{1}{2} < -\frac{1}{4} < -\frac{1}{8}$.

Поскольку функция с основанием $2,24$ возрастающая, порядок для значений степеней будет таким же, как и для их показателей:

$2,24^{-\frac{1}{2}} < 2,24^{-\frac{1}{4}} < 2,24^{-\frac{1}{8}}$.

Ответ: $2,24^{-\frac{1}{2}}$, $2,24^{-\frac{1}{4}}$, $2,24^{-\frac{1}{8}}$.