Номер 3.58, страница 118, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.58. Докажите формулу сложного радикала:

$\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$

Для доказательства этой формулы мы возведем в квадрат ее правую часть и покажем, что результат равен подкоренному выражению в левой части, то есть $a \pm \sqrt{b}$.

Пусть правая часть равенства равна $\text{X}$:

$X = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$

Возведем $\text{X}$ в квадрат, используя формулу квадрата суммы/разности $(u \pm v)^2 = u^2 + v^2 \pm 2uv$:

$X^2 = \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right)^2 + \left( \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right)^2 \pm 2 \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right) \left( \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right)$

Вычислим сумму квадратов первых двух слагаемых:

$\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2} = \frac{a + \sqrt{a^2 - b} + a - \sqrt{a^2 - b}}{2} = \frac{2a}{2} = a$

Теперь вычислим удвоенное произведение:

$2 \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} \cdot \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} = 2 \sqrt{\frac{(a + \sqrt{a^2 - b})(a - \sqrt{a^2 - b})}{4}}$

Применим в числителе формулу разности квадратов $(u+v)(u-v)=u^2-v^2$:

$2 \sqrt{\frac{a^2 - (\sqrt{a^2 - b})^2}{4}} = 2 \sqrt{\frac{a^2 - (a^2 - b)}{4}} = 2 \sqrt{\frac{b}{4}} = 2 \frac{\sqrt{b}}{2} = \sqrt{b}$

Подставим полученные результаты обратно в выражение для $X^2$:

$X^2 = a \pm \sqrt{b}$

Таким образом, квадрат правой части равенства действительно равен подкоренному выражению левой части. Чтобы завершить доказательство, нужно извлечь квадратный корень.

$X = \sqrt{a \pm \sqrt{b}}$

Это преобразование корректно, поскольку обе части исходного равенства являются неотрицательными. Левая часть, $\sqrt{a \pm \sqrt{b}}$, по определению арифметического корня неотрицательна. Правая часть $\text{X}$ также неотрицательна при условиях, что $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $a^2 \ge b$ (которые необходимы для существования всех корней в формуле). В случае со знаком «+» это сумма двух неотрицательных чисел. В случае со знаком «−» вычитаемое не превышает уменьшаемое, так как $a+\sqrt{a^2-b} \ge a-\sqrt{a^2-b}$.

Следовательно, тождество доказано.

Ответ: $\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$.