Номер 3.51, страница 117, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.51. Преобразуйте данное выражение так, чтобы его знаменатель не содержал корней:

1) $\frac{5}{\sqrt[3]{4}}$;

2) $\frac{18}{\sqrt[3]{27}}$;

3) $\frac{6}{\sqrt[5]{8}}$;

4) $\frac{2}{\sqrt[3]{-49}}$;

5) $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$;

6) $\frac{7}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}$;

7) $\frac{5}{\sqrt{8}-\sqrt{3}}$;

8) $\frac{29}{\sqrt{20}-\sqrt{9}}$.

1) Чтобы преобразовать выражение $ \frac{5}{\sqrt[3]{4}} $ и убрать корень из знаменателя, сначала представим подкоренное выражение в виде степени: $ 4 = 2^2 $. Таким образом, дробь имеет вид $ \frac{5}{\sqrt[3]{2^2}} $. Чтобы в знаменателе под корнем получить степень, равную показателю корня (в данном случае 3), нужно домножить знаменатель на $ \sqrt[3]{2^{3-2}} = \sqrt[3]{2} $. Чтобы значение дроби не изменилось, домножим на $ \sqrt[3]{2} $ и числитель.

$ \frac{5}{\sqrt[3]{4}} = \frac{5}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{5\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{5\sqrt[3]{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{5\sqrt[3]{2}}{2} $

2) Преобразуем выражение $ \frac{18}{\sqrt[4]{27}} $. Представим $ 27 $ как $ 3^3 $. Дробь примет вид $ \frac{18}{\sqrt[4]{3^3}} $. Чтобы избавиться от корня в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[4]{3^{4-3}} = \sqrt[4]{3} $.

$ \frac{18}{\sqrt[4]{27}} = \frac{18}{\sqrt[4]{3^3}} = \frac{18 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^3} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{18\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{18\sqrt[4]{3}}{3} $.

Теперь можно сократить дробь: $ \frac{18}{3} = 6 $.

Ответ: $ 6\sqrt[4]{3} $

3) Для выражения $ \frac{6}{\sqrt[5]{8}} $ представим $ 8 $ как $ 2^3 $. Дробь станет $ \frac{6}{\sqrt[5]{2^3}} $. Чтобы в знаменателе под корнем получилась пятая степень, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[5]{2^{5-3}} = \sqrt[5]{2^2} = \sqrt[5]{4} $.

$ \frac{6}{\sqrt[5]{8}} = \frac{6}{\sqrt[5]{2^3}} = \frac{6 \cdot \sqrt[5]{2^2}}{\sqrt[5]{2^3} \cdot \sqrt[5]{2^2}} = \frac{6\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{6\sqrt[5]{4}}{2} $.

Сократим полученную дробь: $ \frac{6}{2} = 3 $.

Ответ: $ 3\sqrt[5]{4} $

4) Рассмотрим выражение $ \frac{2}{\sqrt[3]{-49}} $. Так как корень нечетной степени, минус можно вынести за знак корня: $ \sqrt[3]{-49} = -\sqrt[3]{49} $. Представим $ 49 $ как $ 7^2 $.

$ \frac{2}{\sqrt[3]{-49}} = \frac{2}{-\sqrt[3]{49}} = -\frac{2}{\sqrt[3]{7^2}} $.

Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[3]{7^{3-2}} = \sqrt[3]{7} $.

$ -\frac{2}{\sqrt[3]{7^2}} = -\frac{2 \cdot \sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7^2} \cdot \sqrt[3]{7}} = -\frac{2\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7^3}} = -\frac{2\sqrt[3]{7}}{7} $.

Ответ: $ -\frac{2\sqrt[3]{7}}{7} $

5) В выражении $ \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} $ знаменатель содержит разность квадратных корней. Чтобы избавиться от иррациональности, нужно домножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение, которым является $ \sqrt{3}+\sqrt{2} $. При этом в знаменателе используем формулу разности квадратов: $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $.

$ \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{1} $.

Ответ: $ \sqrt{3}+\sqrt{2} $

6) Для выражения $ \frac{7}{\sqrt{2}+\sqrt{5}} $ знаменатель является суммой квадратных корней. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{2}-\sqrt{5} $ и применим формулу разности квадратов.

$ \frac{7}{\sqrt{2}+\sqrt{5}} = \frac{7 \cdot (\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5})} = \frac{7(\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{7(\sqrt{2}-\sqrt{5})}{2-5} = \frac{7(\sqrt{2}-\sqrt{5})}{-3} $.

Чтобы избавиться от минуса в знаменателе, умножим на него числитель, поменяв знаки в скобках.

Ответ: $ \frac{7(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3} $

7) В выражении $ \frac{5}{\sqrt{8}-\sqrt{3}} $ домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{8}+\sqrt{3} $.

$ \frac{5}{\sqrt{8}-\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot (\sqrt{8}+\sqrt{3})}{(\sqrt{8}-\sqrt{3})(\sqrt{8}+\sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{8}+\sqrt{3})}{(\sqrt{8})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{5(\sqrt{8}+\sqrt{3})}{8-3} = \frac{5(\sqrt{8}+\sqrt{3})}{5} $.

Сократим дробь на 5: $ \sqrt{8}+\sqrt{3} $. Упростим $ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} $.

Ответ: $ 2\sqrt{2}+\sqrt{3} $

8) В выражении $ \frac{29}{\sqrt{20}-\sqrt{9}} $ сначала упростим знаменатель: $ \sqrt{9}=3 $. Дробь примет вид $ \frac{29}{\sqrt{20}-3} $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{20}+3 $.

$ \frac{29}{\sqrt{20}-3} = \frac{29 \cdot (\sqrt{20}+3)}{(\sqrt{20}-3)(\sqrt{20}+3)} = \frac{29(\sqrt{20}+3)}{(\sqrt{20})^2 - 3^2} = \frac{29(\sqrt{20}+3)}{20-9} = \frac{29(\sqrt{20}+3)}{11} $.

Можно также упростить корень $ \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} $. Тогда выражение примет вид $ \frac{29(2\sqrt{5}+3)}{11} $.

Ответ: $ \frac{29(2\sqrt{5}+3)}{11} $