Номер 3.50, страница 116, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.50. Представьте данное выражение в виде степени с рациональ- ным показателем:

1) $\sqrt[10]{x} \cdot \sqrt[15]{x}$

2) $\sqrt[8]{a^3} \cdot \sqrt[12]{a}$

3) $\sqrt[7]{y^2} \cdot \sqrt[3]{y^{-1}}$

4) $\sqrt[3]{x^2 \sqrt{x}}$

5) $\sqrt[10]{y^3 \sqrt{y^2}}$

6) $\sqrt[5]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^{-3}}$

7) $\frac{\sqrt[7]{x^4}}{\sqrt[14]{x}}$

8) $\sqrt[5]{a^3 \cdot \sqrt[3]{a^2}}$

9) $\frac{\sqrt[5]{b^2 \cdot \sqrt{b}}}{\sqrt[3]{b \cdot \sqrt{b}}}$

1) Для решения представим каждый корень в виде степени с рациональным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. Затем воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$.

$\sqrt[10]{x} \cdot \sqrt[15]{x} = x^{\frac{1}{10}} \cdot x^{\frac{1}{15}} = x^{\frac{1}{10} + \frac{1}{15}}$

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 30:

$x^{\frac{3}{30} + \frac{2}{30}} = x^{\frac{3+2}{30}} = x^{\frac{5}{30}} = x^{\frac{1}{6}}$

Ответ: $x^{\frac{1}{6}}$

2) Представим корни в виде степеней и применим свойство умножения степеней:

$\sqrt[8]{a^3} \cdot \sqrt[12]{a} = a^{\frac{3}{8}} \cdot a^{\frac{1}{12}} = a^{\frac{3}{8} + \frac{1}{12}}$

Общий знаменатель для 8 и 12 равен 24:

$a^{\frac{3 \cdot 3}{24} + \frac{1 \cdot 2}{24}} = a^{\frac{9+2}{24}} = a^{\frac{11}{24}}$

Ответ: $a^{\frac{11}{24}}$

3) Представим корни в виде степеней и применим свойство умножения степеней:

$\sqrt[7]{y^2} \cdot \sqrt[8]{y^{-1}} = y^{\frac{2}{7}} \cdot y^{-\frac{1}{8}} = y^{\frac{2}{7} + (-\frac{1}{8})} = y^{\frac{2}{7} - \frac{1}{8}}$

Общий знаменатель для 7 и 8 равен 56:

$y^{\frac{2 \cdot 8}{56} - \frac{1 \cdot 7}{56}} = y^{\frac{16-7}{56}} = y^{\frac{9}{56}}$

Ответ: $y^{\frac{9}{56}}$

4) Сначала упростим выражение под корнем, а затем воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^p)^q = a^{pq}$.

$\sqrt[3]{x^2 \sqrt{x}} = \sqrt[3]{x^2 \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{x^{2+\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{x^{\frac{5}{2}}}$

Теперь представим внешний корень в виде степени:

$(x^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{6}}$

Ответ: $x^{\frac{5}{6}}$

5) Упростим подкоренное выражение, а затем применим свойство степени степени.

$\sqrt[10]{y \sqrt[3]{y^2}} = \sqrt[10]{y^1 \cdot y^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[10]{y^{1+\frac{2}{3}}} = \sqrt[10]{y^{\frac{5}{3}}}$

Представим внешний корень в виде степени:

$(y^{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{10}} = y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{10}} = y^{\frac{5}{30}} = y^{\frac{1}{6}}$

Ответ: $y^{\frac{1}{6}}$

6) Сначала упростим выражение под внешним корнем.

$\sqrt[5]{x^2 \sqrt[4]{x^{-3}}} = \sqrt[5]{x^2 \cdot x^{-\frac{3}{4}}} = \sqrt[5]{x^{2-\frac{3}{4}}} = \sqrt[5]{x^{\frac{8}{4}-\frac{3}{4}}} = \sqrt[5]{x^{\frac{5}{4}}}$

Теперь преобразуем внешний корень в степень:

$(x^{\frac{5}{4}})^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{5}} = x^{\frac{5}{20}} = x^{\frac{1}{4}}$

Ответ: $x^{\frac{1}{4}}$

7) Представим числитель и знаменатель в виде степеней и воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$.

$\frac{\sqrt[7]{x^4}}{\sqrt[14]{x}} = \frac{x^{\frac{4}{7}}}{x^{\frac{1}{14}}} = x^{\frac{4}{7} - \frac{1}{14}}$

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 14:

$x^{\frac{4 \cdot 2}{14} - \frac{1}{14}} = x^{\frac{8-1}{14}} = x^{\frac{7}{14}} = x^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $x^{\frac{1}{2}}$

8) Сначала упростим выражение под внешним корнем, используя свойства степеней.

$\sqrt[5]{a^3 \sqrt[3]{a^2}} = \sqrt[5]{a^3 \cdot a^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[5]{a^{3+\frac{2}{3}}} = \sqrt[5]{a^{\frac{9}{3}+\frac{2}{3}}} = \sqrt[5]{a^{\frac{11}{3}}}$

Теперь преобразуем внешний корень в степень:

$(a^{\frac{11}{3}})^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{11}{3} \cdot \frac{1}{5}} = a^{\frac{11}{15}}$

Ответ: $a^{\frac{11}{15}}$

9) Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Числитель: $\sqrt[5]{b^2 \cdot \sqrt{b}} = \sqrt[5]{b^2 \cdot b^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[5]{b^{2+\frac{1}{2}}} = \sqrt[5]{b^{\frac{5}{2}}} = (b^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{5}} = b^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}} = b^{\frac{5}{10}} = b^{\frac{1}{2}}$.

Знаменатель: $\sqrt[3]{b \cdot \sqrt{b}} = \sqrt[3]{b^1 \cdot b^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{b^{1+\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{b^{\frac{3}{2}}} = (b^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = b^{\frac{3}{6}} = b^{\frac{1}{2}}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{b^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}} = b^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = b^0$

Ответ: $b^0$