Номер 3.49, страница 116, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.49. Представьте данное выражение в виде степени с рациональным показателем:

1) $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{143^2}$, $\sqrt[6]{\frac{1}{15}};$

2) $\sqrt{0,2}$, $\sqrt[5]{73^3}$, $\sqrt[8]{2^{-2}};$

3) $\frac{1}{\sqrt{3^{-2}}}$, $\sqrt[3]{2b}$, $\sqrt{7+a};$

4) $\frac{1}{\sqrt[4]{4}}$, $\sqrt[3]{3a}$, $\sqrt{2+b};$

5) $2,5\sqrt{40}$, $a\sqrt{a}$, $(x+1)^2 \cdot \sqrt[4]{x+1}$, $-8\sqrt[3]{2}$, $-b\sqrt[3]{b}$, $(y-5)^8 \cdot \sqrt[4]{y-5}.$

1) Используем определение степени с рациональным показателем $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$.

$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3^1} = 3^{1/2}$.

$\sqrt[3]{143^2} = 143^{2/3}$.

$\sqrt[6]{\frac{1}{15}} = \sqrt[6]{15^{-1}} = 15^{-1/6}$.

Ответ: $3^{1/2}; 143^{2/3}; 15^{-1/6}.$

2) $\sqrt{0,2} = \sqrt[2]{(0,2)^1} = (0,2)^{1/2}$.

$\sqrt[5]{73^3} = 73^{3/5}$.

$\sqrt[8]{2^{-2}} = 2^{-2/8} = 2^{-1/4}$ (показатель степени сокращается).

Ответ: $(0,2)^{1/2}; 73^{3/5}; 2^{-1/4}.$

3) Для выражения $\frac{1}{\sqrt[4]{3^{-2}}}$ сначала преобразуем знаменатель: $\sqrt[4]{3^{-2}} = 3^{-2/4} = 3^{-1/2}$. Затем используем свойство $1/a^n = a^{-n}$: $\frac{1}{3^{-1/2}} = 3^{-(-1/2)} = 3^{1/2}$.

$\sqrt[3]{2b} = (2b)^{1/3}$.

$\sqrt[4]{7+a} = (7+a)^{1/4}$.

Ответ: $3^{1/2}; (2b)^{1/3}; (7+a)^{1/4}.$

4) $\frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{1}{4^{1/3}} = 4^{-1/3}$.

$\sqrt[5]{3a} = (3a)^{1/5}$.

$\sqrt{2+b} = \sqrt[2]{(2+b)^1} = (2+b)^{1/2}$.

Ответ: $4^{-1/3}; (3a)^{1/5}; (2+b)^{1/2}.$

5) Для выражения $2,5\sqrt{40}$ внесем множитель 2,5 под знак корня: $2,5\sqrt{40} = \sqrt{(2,5)^2 \cdot 40} = \sqrt{6,25 \cdot 40} = \sqrt{250}$. Теперь представим в виде степени: $\sqrt{250} = 250^{1/2}$.

Для выражения $a\sqrt{a}$ используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $a\sqrt{a} = a^1 \cdot a^{1/2} = a^{1+1/2} = a^{3/2}$.

Аналогично для $(x+1)^2\sqrt[4]{x+1}$: $(x+1)^2 \cdot (x+1)^{1/4} = (x+1)^{2+1/4} = (x+1)^{8/4+1/4} = (x+1)^{9/4}$.

Ответ: $250^{1/2}; a^{3/2}; (x+1)^{9/4}.$

6) Для выражения $-8\sqrt[3]{2}$ представим $\text{8}$ как $2^3$. Тогда $-8\sqrt[3]{2} = -2^3 \cdot 2^{1/3} = -(2^{3+1/3}) = -2^{10/3}$.

Для выражения $-b\sqrt[5]{b}$ поступаем аналогично: $-b\sqrt[5]{b} = -b^1 \cdot b^{1/5} = -(b^{1+1/5}) = -b^{6/5}$.

Для выражения $(y-5)^8\sqrt[4]{y-5}$ используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием: $(y-5)^8 \cdot (y-5)^{1/4} = (y-5)^{8+1/4} = (y-5)^{32/4+1/4} = (y-5)^{33/4}$.

Ответ: $-2^{10/3}; -b^{6/5}; (y-5)^{33/4}.$