Номер 3.61, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.61. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + xy + x = 14, \\ y^2 + xy + y = 27; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 = 1, \\ 3y + x = 0. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + xy + x = 14, \\ y^2 + xy + y = 27. \end{cases} $

Вынесем общие множители в левой части каждого уравнения:

$ \begin{cases} x(x + y + 1) = 14, \\ y(x + y + 1) = 27. \end{cases} $

Поскольку правые части не равны нулю, то $x \neq 0$, $y \neq 0$ и $x+y+1 \neq 0$. Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{y(x + y + 1)}{x(x + y + 1)} = \frac{27}{14}$

$\frac{y}{x} = \frac{27}{14}$

Отсюда выразим $\text{y}$ через $\text{x}$:

$y = \frac{27}{14}x$

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:

$x^2 + x\left(\frac{27}{14}x\right) + x = 14$

$x^2 + \frac{27}{14}x^2 + x = 14$

Приведем подобные слагаемые:

$\left(1 + \frac{27}{14}\right)x^2 + x - 14 = 0$

$\frac{41}{14}x^2 + x - 14 = 0$

Умножим обе части уравнения на 14, чтобы избавиться от дроби:

$41x^2 + 14x - 196 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = 14^2 - 4 \cdot 41 \cdot (-196) = 196 + 164 \cdot 196 = 196(1 + 164) = 196 \cdot 165$

Корни уравнения:

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{196 \cdot 165}}{2 \cdot 41} = \frac{-14 \pm 14\sqrt{165}}{82} = \frac{7(-1 \pm \sqrt{165})}{41}$

Получаем два значения для $\text{x}$:

$x_1 = \frac{7(-1 + \sqrt{165})}{41} = \frac{7(\sqrt{165} - 1)}{41}$

$x_2 = \frac{7(-1 - \sqrt{165})}{41} = -\frac{7(\sqrt{165} + 1)}{41}$

Теперь найдем соответствующие значения $\text{y}$ для каждого $\text{x}$, используя соотношение $y = \frac{27}{14}x$.

Для $x_1$:

$y_1 = \frac{27}{14}x_1 = \frac{27}{14} \cdot \frac{7(\sqrt{165} - 1)}{41} = \frac{27 \cdot 7 (\sqrt{165} - 1)}{14 \cdot 41} = \frac{27(\sqrt{165} - 1)}{2 \cdot 41} = \frac{27(\sqrt{165} - 1)}{82}$

Для $x_2$:

$y_2 = \frac{27}{14}x_2 = \frac{27}{14} \cdot \left(-\frac{7(\sqrt{165} + 1)}{41}\right) = -\frac{27 \cdot 7 (\sqrt{165} + 1)}{14 \cdot 41} = -\frac{27(\sqrt{165} + 1)}{2 \cdot 41} = -\frac{27(\sqrt{165} + 1)}{82}$

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $\left(\frac{7(\sqrt{165} - 1)}{41}, \frac{27(\sqrt{165} - 1)}{82}\right)$; $\left(-\frac{7(\sqrt{165} + 1)}{41}, -\frac{27(\sqrt{165} + 1)}{82}\right)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 = 1, \\ 3y + x = 0. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $\text{x}$ через $\text{y}$:

$x = -3y$

Подставим это выражение для $\text{x}$ в первое уравнение системы:

$(-3y)^2 + 3(-3y)y + y^2 = 1$

Упростим полученное уравнение:

$9y^2 - 9y^2 + y^2 = 1$

$y^2 = 1$

Отсюда получаем два возможных значения для $\text{y}$:

$y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $\text{x}$ для каждого $\text{y}$, используя соотношение $x = -3y$.

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = -3 \cdot 1 = -3$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -3 \cdot (-1) = 3$.

Таким образом, система имеет два решения: $(-3, 1)$ и $(3, -1)$.

Ответ: $(-3, 1)$; $(3, -1)$.