Номер 2.19, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.19. Дана интервальная таблица частот выборки.

1) Найдите объем выборки;

2) составьте интервальную таблицу сравнительных частот;

б) постройте гистограмму.

1) Объем выборки $\text{n}$ – это общее количество наблюдений, которое равно сумме всех частот $n_i$ из данной интервальной таблицы.

Частоты для каждого интервала: 2, 4, 8, 12, 16, 10, 3.

Сложим все частоты, чтобы найти объем выборки:

$n = 2 + 4 + 8 + 12 + 16 + 10 + 3 = 55$

Ответ: Объем выборки $n = 55$.

2) Сравнительная (или относительная) частота $w_i$ для каждого интервала вычисляется путем деления частоты этого интервала $n_i$ на общий объем выборки $\text{n}$. Формула: $w_i = \frac{n_i}{n}$.

Зная, что $n=55$, рассчитаем сравнительные частоты:

• Для интервала $[10; 12)$: $w_1 = \frac{2}{55}$
• Для интервала $[12; 14)$: $w_2 = \frac{4}{55}$
• Для интервала $[14; 16)$: $w_3 = \frac{8}{55}$
• Для интервала $[16; 18)$: $w_4 = \frac{12}{55}$
• Для интервала $[18; 20)$: $w_5 = \frac{16}{55}$
• Для интервала $[20; 22)$: $w_6 = \frac{10}{55} = \frac{2}{11}$
• Для интервала $[22; 24)$: $w_7 = \frac{3}{55}$

Сумма всех сравнительных частот должна быть равна 1, что и подтверждается расчетом: $\sum w_i = \frac{2+4+8+12+16+10+3}{55} = \frac{55}{55} = 1$.

Ответ: Интервальная таблица сравнительных частот выглядит следующим образом:

б) Гистограмма – это графическое представление распределения данных, состоящее из примыкающих друг к другу прямоугольников. Основаниями прямоугольников являются интервалы данных, а их площади пропорциональны частотам этих интервалов. Для построения гистограммы необходимо определить высоты прямоугольников.

Все интервалы в задаче имеют одинаковую длину $h = 12 - 10 = 2$.

Высота каждого прямоугольника гистограммы равна плотности частоты, которая вычисляется по формуле $\frac{n_i}{h}$.

Рассчитаем высоты прямоугольников для каждого интервала:

• Для интервала $[10; 12)$: высота = $\frac{2}{2} = 1$
• Для интервала $[12; 14)$: высота = $\frac{4}{2} = 2$
• Для интервала $[14; 16)$: высота = $\frac{8}{2} = 4$
• Для интервала $[16; 18)$: высота = $\frac{12}{2} = 6$
• Для интервала $[18; 20)$: высота = $\frac{16}{2} = 8$
• Для интервала $[20; 22)$: высота = $\frac{10}{2} = 5$
• Для интервала $[22; 24)$: высота = $\frac{3}{2} = 1.5$

Для построения гистограммы на горизонтальной оси (оси абсцисс) откладываются интервалы, а на вертикальной оси (оси ординат) — плотность частоты. Над каждым интервалом строится прямоугольник с соответствующей высотой.

Ответ: Гистограмма представляет собой семь смежных прямоугольников. Их основания и высоты (плотности частоты) приведены в таблице ниже.