Номер 2.20, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.20. В следующей таблице приведены данные о росте производительности труда работников областных учреждений (в % по сравнению с прошлым годом).

1) Составьте интервальную таблицу относительных частот выборки;

2) постройте гистограмму.

1) Составьте интервальную таблицу относительных частот выборки

Для составления таблицы относительных частот сначала необходимо найти общий объем выборки $\text{n}$, который равен сумме всех частот (количества учреждений).

$n = 2 + 14 + 60 + 20 + 4 = 100$

Далее, для каждого интервала вычислим относительную частоту $w_i$ по формуле:

$w_i = \frac{n_i}{n}$

где $n_i$ — частота (количество учреждений) для $\text{i}$-го интервала, а $\text{n}$ — общий объем выборки.

• Для интервала 80–90: $w_1 = \frac{2}{100} = 0.02$
• Для интервала 90–100: $w_2 = \frac{14}{100} = 0.14$
• Для интервала 100–110: $w_3 = \frac{60}{100} = 0.60$
• Для интервала 110–120: $w_4 = \frac{20}{100} = 0.20$
• Для интервала 120–130: $w_5 = \frac{4}{100} = 0.04$

Проверка: сумма всех относительных частот должна быть равна 1.

$0.02 + 0.14 + 0.60 + 0.20 + 0.04 = 1.00$

Теперь составим итоговую таблицу.

Ответ:

2) постройте гистограмму

Гистограмма относительных частот — это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников. Основаниями прямоугольников служат интервалы данных, а их высоты пропорциональны частотам (или плотностям частот).

В данном случае все интервалы имеют одинаковую длину $\text{h}$:

$h = 90 - 80 = 100 - 90 = \dots = 10$

Для построения гистограммы по оси абсцисс (горизонтальной оси) откладываются интервалы роста производительности. По оси ординат (вертикальной оси) откладываются высоты прямоугольников. Высота каждого прямоугольника вычисляется как отношение относительной частоты $w_i$ к длине интервала $\text{h}$. Эта величина называется плотностью относительной частоты.

Высота столбца = $\frac{w_i}{h}$

Вычислим высоты для каждого интервала:

• Для интервала 80–90: высота = $\frac{0.02}{10} = 0.002$
• Для интервала 90–100: высота = $\frac{0.14}{10} = 0.014$
• Для интервала 100–110: высота = $\frac{0.60}{10} = 0.060$
• Для интервала 110–120: высота = $\frac{0.20}{10} = 0.020$
• Для интервала 120–130: высота = $\frac{0.04}{10} = 0.004$

Площадь каждого прямоугольника гистограммы равна соответствующей относительной частоте ($Площадь_i = Высота_i \times h = \frac{w_i}{h} \times h = w_i$). Сумма площадей всех прямоугольников гистограммы равна 1.

Ответ:

Гистограмма строится следующим образом:

1. На горизонтальной оси (оси X) отмечаются границы интервалов: 80, 90, 100, 110, 120, 130. Ось подписывается "Рост производительности, %".
2. На вертикальной оси (оси Y) отмечаются значения высот (плотности относительной частоты). Ось подписывается "Плотность относительной частоты". Масштаб должен быть таким, чтобы вместить максимальную высоту 0.060.
3. Над каждым интервалом на оси X строится прямоугольник без зазоров между ними:
   • Над интервалом [80, 90] — прямоугольник высотой 0.002.
   • Над интервалом [90, 100] — прямоугольник высотой 0.014.
   • Над интервалом [100, 110] — прямоугольник высотой 0.060.
   • Над интервалом [110, 120] — прямоугольник высотой 0.020.
   • Над интервалом [120, 130] — прямоугольник высотой 0.004.

Сводные данные для построения гистограммы: