Номер 3.91, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.91. Напишите уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{2}{\sqrt[4]{x^8}}$ в точке $M(1; 2)$. Результат проверьте с помощью графического онлайн-калькулятора https://www.desmos.com/calculator.

Напишите уравнение касательной к графику функции $f(x)=\frac{2}{\sqrt[4]{x^8}}$ в точке $M(1; 2)$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию, точка касания $M(1; 2)$, следовательно, абсцисса точки касания $x_0 = 1$, а ордината $f(x_0) = 2$.

Для нахождения производной сначала упростим выражение для функции, используя свойства степени: $f(x) = \frac{2}{\sqrt[4]{x^8}} = \frac{2}{(x^8)^{1/4}} = \frac{2}{x^{8 \cdot 1/4}} = \frac{2}{x^2}$.

Теперь найдем производную функции, представив ее в виде $f(x) = 2x^{-2}$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем: $f'(x) = (2x^{-2})' = 2 \cdot (-2)x^{-2-1} = -4x^{-3} = -\frac{4}{x^3}$.

Далее найдем значение производной в точке касания $x_0 = 1$. Это значение является угловым коэффициентом касательной. $f'(1) = -\frac{4}{1^3} = -4$.

Подставим все известные значения ($x_0 = 1$, $f(x_0) = 2$, $f'(x_0) = -4$) в общее уравнение касательной: $y = 2 + (-4)(x - 1)$ $y = 2 - 4x + 4$ $y = -4x + 6$.

Ответ: $y = -4x + 6$

Результат проверьте с помощью графического онлайн-калькулятора.

Для проверки построим в онлайн-калькуляторе (например, Desmos) графики исходной функции $f(x)=\frac{2}{x^2}$ и полученного уравнения касательной $y=-4x+6$. На графике видно, что прямая $y=-4x+6$ касается графика функции $f(x)=\frac{2}{x^2}$ в единственной точке $M(1; 2)$, что подтверждает правильность выполненных расчетов.

Ответ: Проверка с помощью графического калькулятора подтверждает, что уравнение касательной найдено верно.