Номер 3.95, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.95. Дана функция $f(x) = \sqrt{x} + 2\sqrt[3]{x}$. Найдите для нее первообразную, проходящую через точку $M(1; 1,5)$.

Для нахождения первообразной функции $f(x)$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$ находится по формуле $F(x) = \int f(x) dx$.

Исходная функция: $f(x) = \sqrt{x} + 2\sqrt[3]{x}$.

Для удобства интегрирования представим функцию в виде степенных выражений: $f(x) = x^{1/2} + 2x^{1/3}$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$, используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $F(x) = \int (x^{1/2} + 2x^{1/3}) dx = \int x^{1/2} dx + 2\int x^{1/3} dx$.

Вычислим интегралы: $F(x) = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + 2 \cdot \frac{x^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + 2 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} + C$.

Упростим выражение: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + 2 \cdot \frac{3}{4}x^{4/3} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} + C$.

Это общий вид всех первообразных для функции $f(x)$. По условию, искомая первообразная должна проходить через точку $M(1; 1,5)$. Это означает, что при $x=1$ значение функции $F(x)$ равно $1,5$, то есть $F(1) = 1,5$. Подставим эти значения в полученное выражение для $F(x)$, чтобы определить константу $\text{C}$: $1,5 = \frac{2}{3}(1)^{3/2} + \frac{3}{2}(1)^{4/3} + C$.

Так как $\text{1}$ в любой степени равен $\text{1}$, получаем: $1,5 = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 1 + C$ $1,5 = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + C$.

Для решения уравнения найдем сумму дробей и представим $1,5$ как $\frac{3}{2}$: $\frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{6} = \frac{4+9}{6} = \frac{13}{6}$.

Теперь уравнение для $\text{C}$ выглядит так: $\frac{3}{2} = \frac{13}{6} + C$.

Выразим $\text{C}$: $C = \frac{3}{2} - \frac{13}{6} = \frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{13}{6} = \frac{9 - 13}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Подставим найденное значение $C = -2/3$ в общий вид первообразной. Искомая функция имеет вид: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} - \frac{2}{3}$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} - \frac{2}{3}$.