Номер 4.23, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.23*. Решите уравнение с помощью выделения полного квадрата:

1) $ \sqrt{x^2-4x+4} - \sqrt{x^2-6x+9} = \sqrt{x^2-2x+1} $

2) $ \sqrt{x^2+4-4x} + \sqrt{x^2+9-6x} = 1 $

1)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x^2 - 4x + 4} - \sqrt{x^2 - 6x + 9} = \sqrt{x^2 - 2x + 1} $.

Заметим, что выражения под знаками корня являются полными квадратами, используя формулу $ a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 $.

$ x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2 $

$ x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x - 3)^2 $

$ x^2 - 2x + 1 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = (x - 1)^2 $

Подставим эти выражения в уравнение. Используя свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $, получим уравнение с модулями:

$ \sqrt{(x - 2)^2} - \sqrt{(x - 3)^2} = \sqrt{(x - 1)^2} $

$ |x - 2| - |x - 3| = |x - 1| $

Для решения этого уравнения применим метод интервалов. Отметим на числовой прямой точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль: $ x = 1, x = 2, x = 3 $. Эти точки делят прямую на четыре промежутка. Решим уравнение на каждом из них.

1. При $ x < 1 $: все выражения $ x-1, x-2, x-3 $ отрицательны. Раскрываем модули, меняя знак:

$ -(x - 2) - (-(x - 3)) = -(x - 1) $

$ -x + 2 + x - 3 = -x + 1 $

$ -1 = -x + 1 $

$ x = 2 $. Этот корень не принадлежит промежутку $ x < 1 $, поэтому на данном промежутке решений нет.

2. При $ 1 \le x < 2 $: $ (x-1) \ge 0 $, но $ (x-2) < 0 $ и $ (x-3) < 0 $.

$ -(x - 2) - (-(x - 3)) = (x - 1) $

$ -x + 2 + x - 3 = x - 1 $

$ -1 = x - 1 $

$ x = 0 $. Этот корень не принадлежит промежутку $ [1, 2) $, поэтому здесь также нет решений.

3. При $ 2 \le x < 3 $: $ (x-1) \ge 0 $ и $ (x-2) \ge 0 $, но $ (x-3) < 0 $.

$ (x - 2) - (-(x - 3)) = (x - 1) $

$ x - 2 + x - 3 = x - 1 $

$ 2x - 5 = x - 1 $

$ x = 4 $. Этот корень не принадлежит промежутку $ [2, 3) $, поэтому решений нет.

4. При $ x \ge 3 $: все выражения $ x-1, x-2, x-3 $ неотрицательны.

$ (x - 2) - (x - 3) = (x - 1) $

$ x - 2 - x + 3 = x - 1 $

$ 1 = x - 1 $

$ x = 2 $. Этот корень не принадлежит промежутку $ x \ge 3 $, поэтому решений нет.

Так как ни на одном из рассмотренных промежутков не нашлось корней, удовлетворяющих соответствующим условиям, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

2)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x^2 + 4 - 4x} + \sqrt{x^2 + 9 - 6x} = 1 $.

Сгруппируем слагаемые под корнями, чтобы выделить полные квадраты: $ \sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 6x + 9} = 1 $.

Выражения под корнями являются полными квадратами:

$ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $

$ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 $

Подставив эти выражения в уравнение и применив свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $, получаем:

$ \sqrt{(x - 2)^2} + \sqrt{(x - 3)^2} = 1 $

$ |x - 2| + |x - 3| = 1 $

Это уравнение можно интерпретировать геометрически: сумма расстояний от точки $ x $ на числовой оси до точек 2 и 3 равна 1. Поскольку расстояние между точками 2 и 3 равно $ |3-2|=1 $, этому условию удовлетворяют все точки $ x $, находящиеся на отрезке между 2 и 3.

Решим уравнение алгебраически методом интервалов. Точки, в которых подмодульные выражения равны нулю: $ x = 2 $ и $ x = 3 $.

1. При $ x < 2 $: оба выражения $ x-2 $ и $ x-3 $ отрицательны.

$ -(x - 2) + (-(x - 3)) = 1 $

$ -x + 2 - x + 3 = 1 $

$ 5 - 2x = 1 $

$ 2x = 4 $

$ x = 2 $. Этот корень не входит в рассматриваемый интервал $ x < 2 $, но является его граничной точкой.

2. При $ 2 \le x \le 3 $: выражение $ x-2 $ неотрицательно, а $ x-3 $ неположительно.

$ (x - 2) + (-(x - 3)) = 1 $

$ x - 2 - x + 3 = 1 $

$ 1 = 1 $. Это тождество, верное для любого $ x $ из данного отрезка. Следовательно, весь отрезок $ [2, 3] $ является решением уравнения.

3. При $ x > 3 $: оба выражения $ x-2 $ и $ x-3 $ положительны.

$ (x - 2) + (x - 3) = 1 $

$ 2x - 5 = 1 $

$ 2x = 6 $

$ x = 3 $. Этот корень не входит в интервал $ x > 3 $, но является его граничной точкой.

Объединяя результаты анализа всех промежутков, приходим к выводу, что решением уравнения является множество всех чисел на отрезке от 2 до 3.

Ответ: $ x \in [2, 3] $.