Номер 4.29, страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.29. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{1}{\sqrt{14+5x-x^2}} + \sqrt{x^2-x-20}$

2) $y = \sqrt{4x-x^2} \cdot \sqrt{x^2-1}$

1) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{14+5x-x^2}} + \sqrt{x^2-x-20}$ находится из системы неравенств, так как оба слагаемых должны быть определены.

Первое слагаемое $\frac{1}{\sqrt{14+5x-x^2}}$ определено, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля: $14+5x-x^2 > 0$.

Второе слагаемое $\sqrt{x^2-x-20}$ определено, когда подкоренное выражение неотрицательно: $x^2-x-20 \ge 0$.

Таким образом, необходимо решить систему неравенств: $$ \begin{cases} 14+5x-x^2 > 0, \\ x^2-x-20 \ge 0. \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $14+5x-x^2 > 0$ Умножим на -1 и изменим знак неравенства: $x^2 - 5x - 14 < 0$ Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4(1)(-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$. $x_{1} = \frac{5-9}{2} = -2$ $x_{2} = \frac{5+9}{2} = 7$ Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 5x - 14 < 0$ выполняется между корнями. Следовательно, $x \in (-2, 7)$.

Решим второе неравенство: $x^2-x-20 \ge 0$ Найдем корни уравнения $x^2-x-20 = 0$. $D = (-1)^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$. $x_{1} = \frac{1-9}{2} = -4$ $x_{2} = \frac{1+9}{2} = 5$ Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2-x-20 \ge 0$ выполняется при значениях $\text{x}$ не между корнями. Следовательно, $x \in (-\infty, -4] \cup [5, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-2, 7) \cap ((-\infty, -4] \cup [5, \infty))$. Пересекая интервал $(-2, 7)$ с множеством $(-\infty, -4] \cup [5, \infty)$, получаем интервал $[5, 7)$.

Ответ: $x \in [5, 7)$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{4x-x^2} \cdot \sqrt{x^2-1}$ находится из условия, что подкоренные выражения обоих множителей должны быть неотрицательными.

Таким образом, необходимо решить систему неравенств: $$ \begin{cases} 4x-x^2 \ge 0, \\ x^2-1 \ge 0. \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $4x-x^2 \ge 0$ $x(4-x) \ge 0$ Корни уравнения $x(4-x)=0$ равны $x=0$ и $x=4$. Графиком функции $y = 4x-x^2$ является парабола с ветвями вниз, поэтому она принимает неотрицательные значения между корнями (включая их). Следовательно, $x \in [0, 4]$.

Решим второе неравенство: $x^2-1 \ge 0$ $(x-1)(x+1) \ge 0$ Корни уравнения $(x-1)(x+1)=0$ равны $x=-1$ и $x=1$. Графиком функции $y=x^2-1$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения вне интервала между корнями (включая сами корни). Следовательно, $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Найдем пересечение решений системы: $x \in [0, 4] \cap ((-\infty, -1] \cup [1, \infty))$. Пересечение интервала $[0, 4]$ с множеством $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ дает нам интервал $[1, 4]$.

Ответ: $x \in [1, 4]$.