Номер 4.35, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.35. Решите неравенство, обе части которого являются иррациональными выражениями. При решении пользуйтесь схемой, приведенной на рисунке 4.6.

1) $2\sqrt{2x+1} > 3\sqrt{-x^2-x+6};$

2) $\sqrt{3x-10} > \sqrt{6-x};$

3) $\sqrt{x-1} > \sqrt{2x^2-3x-5};$

4) $\sqrt{x-1} < \sqrt{x^2+1}.$

$\sqrt[2k]{f(x)} > \sqrt[2k]{\phi(x)}$

$\Leftrightarrow$

$\begin{cases} f(x) > \phi(x), \\ \phi(x) \ge 0 \end{cases}$

Рис. 4.6

1) Дано неравенство $2\sqrt{2x+1} > 3\sqrt{-x^2 - x + 6}$.

Внесем коэффициенты под знак корня:

$\sqrt{4(2x+1)} > \sqrt{9(-x^2 - x + 6)}$

$\sqrt{8x+4} > \sqrt{-9x^2 - 9x + 54}$

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} > \sqrt{\phi(x)}$. Согласно приведенной схеме, оно равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) > \phi(x) \\ \phi(x) \ge 0 \end{cases}$

Подставим наши выражения:

$\begin{cases} 8x+4 > -9x^2 - 9x + 54 \\ -9x^2 - 9x + 54 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы.

1. $-9x^2 - 9x + 54 \ge 0$. Разделим на -9 и сменим знак неравенства:

$x^2 + x - 6 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Неравенство $(x+3)(x-2) \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-3, 2]$.

2. $8x+4 > -9x^2 - 9x + 54$. Перенесем все члены в левую часть:

$9x^2 + 17x - 50 > 0$

Найдем корни уравнения $9x^2 + 17x - 50 = 0$.

Дискриминант $D = 17^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-50) = 289 + 1800 = 2089$.

Корни уравнения: $x = \frac{-17 \pm \sqrt{2089}}{18}$.

Так как ветви параболы $y = 9x^2 + 17x - 50$ направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями:

$x \in (-\infty, \frac{-17 - \sqrt{2089}}{18}) \cup (\frac{-17 + \sqrt{2089}}{18}, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Сравним значения:

$\sqrt{1369} < \sqrt{2089} < \sqrt{2809}$, то есть $37 < \sqrt{2089} < 53$.

$\frac{-17 - \sqrt{2089}}{18} < \frac{-17 - 37}{18} = \frac{-54}{18} = -3$.

$\frac{-17 + \sqrt{2089}}{18} > \frac{-17 + 37}{18} = \frac{20}{18} > 1$.

$\frac{-17 + \sqrt{2089}}{18} < \frac{-17 + 53}{18} = \frac{36}{18} = 2$.

Таким образом, $-3 < \frac{-17 + \sqrt{2089}}{18} < 2$.

Пересечение множеств $x \in [-3, 2]$ и $x \in (-\infty, \frac{-17 - \sqrt{2089}}{18}) \cup (\frac{-17 + \sqrt{2089}}{18}, \infty)$ дает нам интервал $(\frac{-17 + \sqrt{2089}}{18}, 2]$.

Также необходимо учесть область определения исходного неравенства: $2x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1/2$. Поскольку $\frac{-17 + \sqrt{2089}}{18} > \frac{-17+37}{18} > 1 > -1/2$, полученное решение входит в область определения.

Ответ: $x \in (\frac{-17 + \sqrt{2089}}{18}, 2]$.

2) Дано неравенство $\sqrt{3x-10} > \sqrt{6-x}$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} > \sqrt{\phi(x)}$, где $f(x) = 3x-10$ и $\phi(x) = 6-x$.

Согласно схеме, оно равносильно системе:

$\begin{cases} 3x-10 > 6-x \\ 6-x \ge 0 \end{cases}$

Решим систему:

1. $3x-10 > 6-x \Rightarrow 4x > 16 \Rightarrow x > 4$.

2. $6-x \ge 0 \Rightarrow 6 \ge x \Rightarrow x \le 6$.

Пересечением решений $x > 4$ и $x \le 6$ является интервал $(4, 6]$.

Ответ: $x \in (4, 6]$.

3) Дано неравенство $\sqrt{x-1} > \sqrt{2x^2 - 3x - 5}$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} > \sqrt{\phi(x)}$, где $f(x) = x-1$ и $\phi(x) = 2x^2 - 3x - 5$.

Оно равносильно системе:

$\begin{cases} x-1 > 2x^2 - 3x - 5 \\ 2x^2 - 3x - 5 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство.

1. $2x^2 - 3x - 5 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{3 \pm 7}{4}$. Корни: $x_1 = \frac{3-7}{4} = -1$ и $x_2 = \frac{3+7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{5}{2}, \infty)$.

2. $x-1 > 2x^2 - 3x - 5$.

$0 > 2x^2 - 4x - 4$

$x^2 - 2x - 2 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 2 = 0$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Решение неравенства: $x \in (1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3})$.

Найдем пересечение решений. $\sqrt{3} \approx 1.732$, поэтому $1-\sqrt{3} \approx -0.732$ и $1+\sqrt{3} \approx 2.732$. Также $\frac{5}{2}=2.5$.

Пересекаем $(-\infty, -1] \cup [2.5, \infty)$ и $(-0.732, 2.732)$.

Пересечение с $(-\infty, -1]$ пусто.

Пересечение с $[2.5, \infty)$ дает $[2.5, 1+\sqrt{3})$.

Ответ: $x \in [\frac{5}{2}, 1+\sqrt{3})$.

4) Дано неравенство $\sqrt{x-1} < \sqrt{x^2+1}$.

Это неравенство можно переписать в виде $\sqrt{x^2+1} > \sqrt{x-1}$.

Оно имеет вид $\sqrt{f(x)} > \sqrt{\phi(x)}$, где $f(x) = x^2+1$ и $\phi(x) = x-1$.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2+1 > x-1 \\ x-1 \ge 0 \end{cases}$

Решим систему.

1. $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.

2. $x^2+1 > x-1 \Rightarrow x^2 - x + 2 > 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - x + 2$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Так как $D < 0$ и старший коэффициент (1) положителен, трехчлен $x^2 - x + 2$ всегда больше нуля. Таким образом, неравенство $x^2 - x + 2 > 0$ выполняется для всех действительных $\text{x}$.

Пересечением решений $x \ge 1$ и $x \in (-\infty, \infty)$ является $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1, \infty)$.