Номер 4.42, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.42. Напишите уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x + 1}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для решения задачи нам необходимо найти три величины: $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$.

1. По условию, абсцисса точки касания $x_0 = 1$.

2. Найдем значение функции в этой точке, то есть ординату точки касания $f(x_0)$: $f(1) = \frac{1^2 - 3 \cdot 1 + 2}{1 + 1} = \frac{1 - 3 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$. Таким образом, точка касания имеет координаты $(1; 0)$.

3. Найдем производную функции $f'(x)$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = x^2 - 3x + 2$, тогда $u'(x) = 2x - 3$. Пусть $v(x) = x + 1$, тогда $v'(x) = 1$.

$f'(x) = \frac{(2x - 3)(x + 1) - (x^2 - 3x + 2) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - 3x - 3 - x^2 + 3x - 2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 5}{(x + 1)^2}$.

4. Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 1$. Это значение является угловым коэффициентом касательной. $f'(1) = \frac{1^2 + 2 \cdot 1 - 5}{(1 + 1)^2} = \frac{1 + 2 - 5}{2^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

5. Подставим найденные значения $x_0 = 1$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = -\frac{1}{2}$ в общее уравнение касательной: $y = 0 + (-\frac{1}{2})(x - 1)$ $y = -\frac{1}{2}(x - 1)$ $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.