Номер 5.1, страница 158, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.1. Запишите число с помощью мнимой единицы (устное задание):

1) $\sqrt{-9}$;

2) $\sqrt{-\frac{1}{4}}$;

3) $\sqrt{-64}$;

4) $\sqrt{-5}$;

5) $\sqrt{-8}$.

1)

Для того чтобы записать число $\sqrt{-9}$ с помощью мнимой единицы, воспользуемся определением мнимой единицы $\text{i}$, где $i^2 = -1$, следовательно $i = \sqrt{-1}$.

Представим подкоренное выражение в виде произведения $-1$ и $\text{9}$: $\sqrt{-9} = \sqrt{9 \cdot (-1)}$.

Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$), получим: $\sqrt{9 \cdot (-1)} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{-1}$.

Так как $\sqrt{9} = 3$ и $\sqrt{-1} = i$, то итоговое выражение равно $3 \cdot i = 3i$.

Ответ: $3i$

2)

Чтобы записать число $\sqrt{-\frac{1}{4}}$ с помощью мнимой единицы, представим его как произведение: $\sqrt{-\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot (-1)}$.

Используя свойство корня из произведения, получим: $\sqrt{\frac{1}{4} \cdot (-1)} = \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{-1}$.

Поскольку $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ и $\sqrt{-1} = i$, то получаем $\frac{1}{2} \cdot i = \frac{1}{2}i$.

Ответ: $\frac{1}{2}i$

3)

Для числа $\sqrt{-64}$ применим тот же подход. Представим подкоренное выражение в виде произведения: $\sqrt{-64} = \sqrt{64 \cdot (-1)}$.

Разделим корень: $\sqrt{64} \cdot \sqrt{-1}$.

Вычислим значения корней: $\sqrt{64} = 8$ и $\sqrt{-1} = i$.

Таким образом, $\sqrt{-64} = 8i$.

Ответ: $8i$

4)

Для записи числа $\sqrt{-5}$ с помощью мнимой единицы, представим его в виде: $\sqrt{-5} = \sqrt{5 \cdot (-1)}$.

Используя свойство корня из произведения, получаем: $\sqrt{5} \cdot \sqrt{-1}$.

Так как $\sqrt{-1} = i$, а $\sqrt{5}$ является иррациональным числом, которое нельзя упростить, то окончательный вид будет $i\sqrt{5}$.

Ответ: $i\sqrt{5}$

5)

Чтобы записать число $\sqrt{-8}$ с помощью мнимой единицы, представим его как: $\sqrt{-8} = \sqrt{8 \cdot (-1)} = \sqrt{8} \cdot \sqrt{-1}$.

Упростим множитель $\sqrt{8}$. Для этого разложим 8 на множители, один из которых является полным квадратом: $8 = 4 \cdot 2$.

Тогда $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Подставляя упрощенное значение обратно и заменяя $\sqrt{-1}$ на $\text{i}$, получим: $2\sqrt{2} \cdot i = 2i\sqrt{2}$.

Ответ: $2i\sqrt{2}$