Номер 5.7, страница 158, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.7. Считая комплексные числа $\text{z}$ и $\text{w}$ равными, найдите значения действительных чисел $\text{x}$ и $\text{y}$:

1) $z = x^2 + xyi - 5 + i$ и $w = xi - y^2 + yi$;

2) $z = x^2(1+i) - 3x$ и $w = y^2(i-1) - i$.

1) $z = x^2 + xyi - 5 + i$ и $w = xi - y^2 + yi$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Для того чтобы найти $\text{x}$ и $\text{y}$, приведем числа $\text{z}$ и $\text{w}$ к алгебраической форме $a+bi$, где $\text{a}$ – действительная часть, а $\text{b}$ – мнимая часть.

Для числа $\text{z}$:

$z = (x^2 - 5) + (xy + 1)i$.

Действительная часть: $Re(z) = x^2 - 5$.

Мнимая часть: $Im(z) = xy + 1$.

Для числа $\text{w}$:

$w = -y^2 + (x + y)i$.

Действительная часть: $Re(w) = -y^2$.

Мнимая часть: $Im(w) = x + y$.

Поскольку $z=w$, мы можем приравнять их действительные и мнимые части:

$Re(z) = Re(w) \Rightarrow x^2 - 5 = -y^2$

$Im(z) = Im(w) \Rightarrow xy + 1 = x + y$

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} x^2 - 5 = -y^2 \\ xy + 1 = x + y \end{cases} $$ Преобразуем уравнения:

1) $x^2 + y^2 = 5$

2) $xy - x - y + 1 = 0$

Сгруппируем члены во втором уравнении для разложения на множители:

$x(y-1) - 1(y-1) = 0$

$(x-1)(y-1) = 0$

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю, то есть либо $x-1=0$, либо $y-1=0$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x-1=0 \Rightarrow x=1$.

Подставим $x=1$ в первое уравнение системы ($x^2 + y^2 = 5$):

$1^2 + y^2 = 5$

$1 + y^2 = 5$

$y^2 = 4$

$y = \pm 2$

Таким образом, мы получаем две пары решений: $(1, 2)$ и $(1, -2)$.

Случай 2: $y-1=0 \Rightarrow y=1$.

Подставим $y=1$ в первое уравнение системы ($x^2 + y^2 = 5$):

$x^2 + 1^2 = 5$

$x^2 + 1 = 5$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

Таким образом, мы получаем еще две пары решений: $(2, 1)$ и $(-2, 1)$.

Всего найдено четыре пары действительных чисел $(x,y)$.

Ответ: $(x=1, y=2)$; $(x=1, y=-2)$; $(x=2, y=1)$; $(x=-2, y=1)$.

2) $z = x^2(1 + i) - 3x$ и $w = y^2(i - 1) - i$

Аналогично первому пункту, приведем комплексные числа к алгебраической форме $a+bi$.

Для числа $\text{z}$:

$z = x^2 + x^2i - 3x = (x^2 - 3x) + x^2i$.

Действительная часть: $Re(z) = x^2 - 3x$.

Мнимая часть: $Im(z) = x^2$.

Для числа $\text{w}$:

$w = y^2i - y^2 - i = -y^2 + (y^2 - 1)i$.

Действительная часть: $Re(w) = -y^2$.

Мнимая часть: $Im(w) = y^2 - 1$.

Приравнивая соответствующие части, получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - 3x = -y^2 \\ x^2 = y^2 - 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y^2$:

$y^2 = x^2 + 1$

Подставим это выражение для $y^2$ в первое уравнение системы:

$x^2 - 3x = -(x^2 + 1)$

$x^2 - 3x = -x^2 - 1$

$2x^2 - 3x + 1 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $\text{x}$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь для каждого найденного значения $\text{x}$ найдем соответствующие значения $\text{y}$, используя соотношение $y^2 = x^2 + 1$.

Случай 1: $x=1$.

$y^2 = 1^2 + 1 = 2$

$y = \pm\sqrt{2}$

Получаем две пары решений: $(1, \sqrt{2})$ и $(1, -\sqrt{2})$.

Случай 2: $x = \frac{1}{2}$.

$y^2 = (\frac{1}{2})^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$

$y = \pm\sqrt{\frac{5}{4}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$

Получаем еще две пары решений: $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2})$ и $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{5}}{2})$.

Всего найдено четыре пары действительных чисел $(x,y)$.

Ответ: $(x=1, y=\sqrt{2})$; $(x=1, y=-\sqrt{2})$; $(x=\frac{1}{2}, y=\frac{\sqrt{5}}{2})$; $(x=\frac{1}{2}, y=-\frac{\sqrt{5}}{2})$.