Номер 5.6, страница 158, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.6. Изобразите комплексное число на комплексной плоскости и найдите его модули:

1) $z = 3 + 2i;$

2) $z = 4i;$

3) $z = -5 + i;$

4) $z = -6 - 5i.$

1)

Комплексное число $z = 3 + 2i$ имеет действительную часть $a = 3$ и мнимую часть $b = 2$.

На комплексной плоскости, где горизонтальная ось является действительной (Re), а вертикальная — мнимой (Im), это число изображается точкой с координатами $(3, 2)$. Эта точка находится в первой координатной четверти.

Модуль комплексного числа $z = a + bi$ — это расстояние от начала координат до точки $(a, b)$ и вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Для $z = 3 + 2i$ модуль равен:

$|z| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.

Ответ: Точка на плоскости $(3, 2)$, модуль $|z| = \sqrt{13}$.

2)

Комплексное число $z = 4i$ можно записать как $z = 0 + 4i$. Здесь действительная часть $a = 0$, а мнимая часть $b = 4$.

На комплексной плоскости это число изображается точкой с координатами $(0, 4)$. Эта точка лежит на положительной части мнимой оси (Im).

Вычислим модуль числа:

$|z| = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Точка на плоскости $(0, 4)$, модуль $|z| = 4$.

3)

Комплексное число $z = -5 + i$ можно записать как $z = -5 + 1i$. Здесь действительная часть $a = -5$, а мнимая часть $b = 1$.

На комплексной плоскости это число изображается точкой с координатами $(-5, 1)$. Эта точка находится во второй координатной четверти.

Вычислим модуль числа:

$|z| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.

Ответ: Точка на плоскости $(-5, 1)$, модуль $|z| = \sqrt{26}$.

4)

Комплексное число $z = -6 - 5i$ имеет действительную часть $a = -6$ и мнимую часть $b = -5$.

На комплексной плоскости это число изображается точкой с координатами $(-6, -5)$. Эта точка находится в третьей координатной четверти.

Вычислим модуль числа:

$|z| = \sqrt{(-6)^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61}$.

Ответ: Точка на плоскости $(-6, -5)$, модуль $|z| = \sqrt{61}$.