Работа в группе, страница 157, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Изобразите на комплексной плоскости комплексное число $z = a + bi$ и сопряженное ему число $\bar{z} = a - bi$. Сформулируйте утверждение относительно их модулей и аргументов и приведите соответствующий пример.

Изобразите на комплексной плоскости комплексное число $\text{z}$ и противоположное ему число $(-z)$. Сформулируйте утверждение об их взаимном расположении и приведите соответствующий пример.

Изобразите на комплексной плоскости комплексное число z = a + bi и сопряженное ему число z̄ = a − bi. Сформулируйте утверждение относительно их модулей и аргументов и приведите соответствующий пример.

Комплексное число $z = a + bi$ изображается на комплексной плоскости точкой с координатами $(a, b)$, где ось абсцисс является действительной осью, а ось ординат — мнимой. Сопряженное ему число $z̄ = a - bi$ изображается точкой с координатами $(a, -b)$. Геометрически точки, соответствующие числам $\text{z}$ и $z̄$, симметричны относительно действительной оси (оси Ox).

Утверждение:

Комплексно-сопряженные числа имеют равные модули и противоположные по знаку аргументы.

1. Модули равны: $|z| = |z̄|$.

2. Аргументы противоположны: $arg(z̄) = -arg(z)$ (если $\text{z}$ не является отрицательным действительным числом).

Докажем это. Модуль комплексного числа $z = a + bi$ вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Модуль сопряженного числа $z̄ = a - bi$ равен $|z̄| = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Следовательно, $|z| = |z̄|$.

Аргумент $\phi = arg(z)$ определяется как угол, который вектор из начала координат в точку $(a,b)$ образует с положительным направлением действительной оси. Для $\text{z}$ в тригонометрической форме $z = |z|(\cos\phi + i\sin\phi)$.

Для сопряженного числа $z̄$ имеем: $z̄ = a - bi = |z|(\cos\phi - i\sin\phi)$. Используя свойства четности косинуса и нечетности синуса, получаем: $z̄ = |z|(\cos(-\phi) + i\sin(-\phi))$.

Так как $|z̄| = |z|$, то из тригонометрической формы записи числа $z̄$ следует, что его аргумент равен $-\phi$.

Пример:

Рассмотрим комплексное число $z = 2 + 2\sqrt{3}i$.

Сопряженное ему число: $z̄ = 2 - 2\sqrt{3}i$.

На комплексной плоскости это точки $M(2, 2\sqrt{3})$ и $M'(2, -2\sqrt{3})$.

Найдем их модули:

$|z| = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

$|z̄| = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

Модули равны: $|z| = |z̄| = 4$.

Найдем их аргументы:

Для $\text{z}$: $\cos\phi = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда $arg(z) = \phi = \frac{\pi}{3}$.

Для $z̄$: $\cos\phi' = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\sin\phi' = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда $arg(z̄) = \phi' = -\frac{\pi}{3}$.

Аргументы противоположны.

Ответ: Комплексно-сопряженные числа $\text{z}$ и $z̄$ имеют равные модули и противоположные аргументы. На комплексной плоскости соответствующие им точки симметричны относительно действительной оси.

Изобразите на комплексной плоскости комплексное число z и противоположное ему число (−z). Сформулируйте утверждение об их взаимном расположении и приведите соответствующий пример.

Комплексное число $z = a + bi$ изображается на комплексной плоскости точкой с координатами $(a, b)$. Противоположное ему число $-z = -(a + bi) = -a - bi$ изображается точкой с координатами $(-a, -b)$.

Утверждение:

Точки на комплексной плоскости, соответствующие комплексному числу $\text{z}$ и противоположному ему числу $-z$, симметричны относительно начала координат $(0, 0)$.

Это означает, что точки, изображающие числа $\text{z}$ и $-z$, лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, на одинаковом расстоянии от него, но в противоположных направлениях. Их модули равны ($|-z| = |z|$), а аргументы отличаются на $\pi$ (180o ), то есть $arg(-z) = arg(z) + \pi$ (с точностью до $2\pi k$, где $\text{k}$ — целое число).

Пример:

Рассмотрим комплексное число $z = -3 + 4i$.

Противоположное ему число: $-z = -(-3 + 4i) = 3 - 4i$.

На комплексной плоскости этим числам соответствуют точки $P(-3, 4)$ и $P'(3, -4)$.

Середина отрезка $PP'$ имеет координаты $(\frac{-3 + 3}{2}, \frac{4 + (-4)}{2}) = (\frac{0}{2}, \frac{0}{2}) = (0, 0)$. Поскольку середина отрезка совпадает с началом координат, точки $\text{P}$ и $P'$ симметричны относительно него.

Ответ: Комплексное число $\text{z}$ и противоположное ему число $-z$ на комплексной плоскости изображаются точками, симметричными относительно начала координат.