Номер 5.4, страница 158, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.4. Извлеките корни из числа и изобразите их на комплексной плоскости:

1) $ \sqrt{-81} $;

2) $ \sqrt{-\frac{1}{16}} $;

3) $ \sqrt{64} $;

4) $ \sqrt[3]{-27} $;

5) $ \sqrt[3]{125i} $.

1) Требуется извлечь квадратный корень из числа $z = -81$.

Для этого представим число $\text{z}$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

Модуль числа $r = |z| = |-81| = 81$.

Аргумент числа $\varphi$ — это угол, который вектор числа образует с положительным направлением действительной оси. Так как число $-81$ является действительным отрицательным, оно лежит на отрицательной части действительной оси, поэтому его аргумент $\varphi = \pi$.

Таким образом, $z = 81(\cos\pi + i\sin\pi)$.

Корни $\text{n}$-й степени из комплексного числа находятся по формуле Муавра: $w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

В данном случае $n=2$. Найдем два корня ($k=0$ и $k=1$):

$w_k = \sqrt{81} \left( \cos\frac{\pi + 2\pi k}{2} + i \sin\frac{\pi + 2\pi k}{2} \right)$.

При $k=0$:

$w_0 = 9 \left( \cos\frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2} \right) = 9(0 + i \cdot 1) = 9i$.

При $k=1$:

$w_1 = 9 \left( \cos\frac{\pi + 2\pi}{2} + i \sin\frac{\pi + 2\pi}{2} \right) = 9 \left( \cos\frac{3\pi}{2} + i \sin\frac{3\pi}{2} \right) = 9(0 + i \cdot (-1)) = -9i$.

На комплексной плоскости эти корни представляют собой две точки, расположенные на мнимой оси симметрично относительно начала координат: $(0, 9)$ и $(0, -9)$.

Ответ: $w_0 = 9i, w_1 = -9i$.

2) Требуется извлечь квадратный корень из числа $z = -\frac{1}{16}$.

Представим число в тригонометрической форме.

Модуль: $r = |-\frac{1}{16}| = \frac{1}{16}$.

Аргумент: $\varphi = \pi$.

$z = \frac{1}{16}(\cos\pi + i\sin\pi)$.

Ищем квадратные корни ($n=2$):

$w_k = \sqrt{\frac{1}{16}} \left( \cos\frac{\pi + 2\pi k}{2} + i \sin\frac{\pi + 2\pi k}{2} \right)$, где $k=0, 1$.

При $k=0$:

$w_0 = \frac{1}{4} \left( \cos\frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{4}(0 + i) = \frac{1}{4}i$.

При $k=1$:

$w_1 = \frac{1}{4} \left( \cos\frac{3\pi}{2} + i \sin\frac{3\pi}{2} \right) = \frac{1}{4}(0 - i) = -\frac{1}{4}i$.

На комплексной плоскости это точки $(0, 1/4)$ и $(0, -1/4)$, расположенные на мнимой оси.

Ответ: $w_0 = \frac{1}{4}i, w_1 = -\frac{1}{4}i$.

3) Требуется извлечь квадратный корень из числа $z = 64$.

Представим число в тригонометрической форме.

Модуль: $r = |64| = 64$.

Аргумент: так как число является действительным положительным, оно лежит на положительной части действительной оси, поэтому $\varphi = 0$.

$z = 64(\cos 0 + i\sin 0)$.

Ищем квадратные корни ($n=2$):

$w_k = \sqrt{64} \left( \cos\frac{0 + 2\pi k}{2} + i \sin\frac{0 + 2\pi k}{2} \right) = 8(\cos(\pi k) + i\sin(\pi k))$, где $k=0, 1$.

При $k=0$:

$w_0 = 8(\cos 0 + i\sin 0) = 8(1) = 8$.

При $k=1$:

$w_1 = 8(\cos\pi + i\sin\pi) = 8(-1) = -8$.

На комплексной плоскости это точки $(8, 0)$ и $(-8, 0)$, расположенные на действительной оси.

Ответ: $w_0 = 8, w_1 = -8$.

4) Требуется извлечь кубический корень из числа $z = -27$.

Представим число в тригонометрической форме.

Модуль: $r = |-27| = 27$.

Аргумент: $\varphi = \pi$.

$z = 27(\cos\pi + i\sin\pi)$.

Ищем кубические корни ($n=3$):

$w_k = \sqrt[3]{27} \left( \cos\frac{\pi + 2\pi k}{3} + i \sin\frac{\pi + 2\pi k}{3} \right)$, где $k = 0, 1, 2$.

При $k=0$:

$w_0 = 3 \left( \cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3} \right) = 3 \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{3}{2} + i \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

При $k=1$:

$w_1 = 3 \left( \cos\frac{\pi + 2\pi}{3} + i \sin\frac{\pi + 2\pi}{3} \right) = 3(\cos\pi + i\sin\pi) = 3(-1) = -3$.

При $k=2$:

$w_2 = 3 \left( \cos\frac{\pi + 4\pi}{3} + i \sin\frac{\pi + 4\pi}{3} \right) = 3 \left( \cos\frac{5\pi}{3} + i \sin\frac{5\pi}{3} \right) = 3 \left( \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{3}{2} - i \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

На комплексной плоскости эти три корня являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом 3. Координаты вершин: $(-3, 0)$, $(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ и $(\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $w_0 = \frac{3}{2} + i \frac{3\sqrt{3}}{2}, w_1 = -3, w_2 = \frac{3}{2} - i \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

5) Требуется извлечь кубический корень из числа $z = 125i$.

Представим число в тригонометрической форме.

Модуль: $r = |125i| = \sqrt{0^2 + 125^2} = 125$.

Аргумент: так как число является чисто мнимым с положительной мнимой частью, оно лежит на положительной части мнимой оси, поэтому $\varphi = \frac{\pi}{2}$.

$z = 125(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.

Ищем кубические корни ($n=3$):

$w_k = \sqrt[3]{125} \left( \cos\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} + i \sin\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} \right) = 5 \left( \cos\frac{\pi + 4\pi k}{6} + i \sin\frac{\pi + 4\pi k}{6} \right)$, где $k = 0, 1, 2$.

При $k=0$:

$w_0 = 5 \left( \cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6} \right) = 5 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = \frac{5\sqrt{3}}{2} + i \frac{5}{2}$.

При $k=1$:

$w_1 = 5 \left( \cos\frac{5\pi}{6} + i \sin\frac{5\pi}{6} \right) = 5 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = -\frac{5\sqrt{3}}{2} + i \frac{5}{2}$.

При $k=2$:

$w_2 = 5 \left( \cos\frac{9\pi}{6} + i \sin\frac{9\pi}{6} \right) = 5 \left( \cos\frac{3\pi}{2} + i \sin\frac{3\pi}{2} \right) = 5(0 - i) = -5i$.

На комплексной плоскости эти три корня являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Координаты вершин: $(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2})$, $(-\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2})$ и $(0, -5)$.

Ответ: $w_0 = \frac{5\sqrt{3}}{2} + i \frac{5}{2}, w_1 = -\frac{5\sqrt{3}}{2} + i \frac{5}{2}, w_2 = -5i$.