Номер 4.41, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.41. Найдите производную функции $y = (x^2 - 2x + 3) \cdot \sin 2x$.

Для нахождения производной функции $y = (x^2 - 2x + 3) \cdot \sin(2x)$ необходимо использовать правило дифференцирования произведения двух функций. Функция представляет собой произведение $u(x) = x^2 - 2x + 3$ и $v(x) = \sin(2x)$.

Правило производной произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$.

1. Найдем производную первой функции $u(x)$:

$u'(x) = (x^2 - 2x + 3)' = (x^2)' - (2x)' + (3)' = 2x - 2$.

2. Найдем производную второй функции $v(x) = \sin(2x)$. Это сложная функция, поэтому для ее дифференцирования применяется правило производной сложной функции (цепное правило):

$v'(x) = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.

3. Теперь подставим найденные производные $u'(x)$ и $v'(x)$ в формулу для производной произведения:

$y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

$y' = (2x - 2)\sin(2x) + (x^2 - 2x + 3)(2\cos(2x))$

Запишем окончательное выражение для производной, вынеся множитель 2 во втором слагаемом вперед:

$y' = (2x - 2)\sin(2x) + 2(x^2 - 2x + 3)\cos(2x)$

Ответ: $y' = (2x - 2)\sin(2x) + 2(x^2 - 2x + 3)\cos(2x)$.