Номер 4.39, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.39. Решите иррациональное неравенство с параметром:

1) $\sqrt[4]{x+a} \ge 2$;

2) $\sqrt{5x^2+a^2} \ge -3x$;

3) $\sqrt{x-a} \ge 2x+1$;

4) $\sqrt[3]{a+x^3} - x < \sqrt[3]{a}$.

1)

Исходное неравенство: $\sqrt[4]{x+a} \ge 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием подкоренного выражения: $x+a \ge 0$, откуда $x \ge -a$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в четвертую степень, сохранив знак неравенства: $(\sqrt[4]{x+a})^4 \ge 2^4$

$x+a \ge 16$

$x \ge 16-a$

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. Мы имеем систему: $\begin{cases} x \ge 16-a \\ x \ge -a \end{cases}$

Сравним $16-a$ и $-a$. Так как $16 > 0$, то $16-a > -a$ при любом значении $\text{a}$. Следовательно, более сильным является условие $x \ge 16-a$.

Ответ: $x \in [16-a, +\infty)$.

2)

Исходное неравенство: $\sqrt{5x^2+a^2} \ge -3x$.

ОДЗ: $5x^2+a^2 \ge 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$, это условие выполняется для любых действительных $\text{x}$ и $\text{a}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части неравенства.

Случай 1: Правая часть отрицательна, то есть $-3x < 0 \implies x > 0$.

В этом случае левая часть (арифметический квадратный корень) всегда неотрицательна. Неравенство вида «неотрицательное число $\ge$ отрицательное число» всегда истинно. Следовательно, все $\text{x}$ из интервала $(0, +\infty)$ являются решениями.

Случай 2: Правая часть неотрицательна, то есть $-3x \ge 0 \implies x \le 0$.

В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат: $(\sqrt{5x^2+a^2})^2 \ge (-3x)^2$

$5x^2+a^2 \ge 9x^2$

$a^2 \ge 4x^2$

$x^2 \le \frac{a^2}{4}$

Это неравенство равносильно $|x| \le \sqrt{\frac{a^2}{4}}$, то есть $|x| \le \frac{|a|}{2}$, или $-\frac{|a|}{2} \le x \le \frac{|a|}{2}$.

Находим пересечение этого решения с условием $x \le 0$, что дает $x \in [-\frac{|a|}{2}, 0]$.

Общее решение является объединением решений из двух случаев: $[-\frac{|a|}{2}, 0] \cup (0, +\infty) = [-\frac{|a|}{2}, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-\frac{|a|}{2}, +\infty)$.

3)

Исходное неравенство: $\sqrt{x-a} \ge 2x+1$.

ОДЗ: $x-a \ge 0 \implies x \ge a$.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} x-a \ge 0 \\ 2x+1 < 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge a \\ x < -1/2 \end{cases}$. Эта система имеет решения $x \in [a, -1/2)$ только при условии $a < -1/2$. Если $a \ge -1/2$, решений в этой системе нет.

2) $\begin{cases} x-a \ge 0 \\ 2x+1 \ge 0 \\ (\sqrt{x-a})^2 \ge (2x+1)^2 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge a \\ x \ge -1/2 \\ x-a \ge 4x^2+4x+1 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge \max(a, -1/2) \\ 4x^2+3x+1+a \le 0 \end{cases}$.

Для решения квадратного неравенства $4x^2+3x+1+a \le 0$ найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 4 (1+a) = 9 - 16 - 16a = -7-16a$.

Рассмотрим различные значения параметра $\text{a}$:

- Если $a > -7/16$, то $D < 0$. Квадратный трехчлен $4x^2+3x+1+a$ всегда положителен, так как старший коэффициент положителен. Неравенство $4x^2+3x+1+a \le 0$ решений не имеет. Система 1) также не имеет решений, так как $a > -7/16 > -1/2$. Значит, при $a > -7/16$ решений нет.

- Если $a = -7/16$, то $D=0$. Неравенство принимает вид $4(x+3/8)^2 \le 0$, что верно только при $x=-3/8$. Проверяем условия системы 2): $x=-3/8 \ge -1/2$ (верно) и $x=-3/8 \ge a=-7/16$ (верно, т.к. $-6/16 \ge -7/16$). Система 1) решений не имеет. Итоговое решение: $x=-3/8$.

- Если $a < -7/16$, то $D>0$. Корни квадратного уравнения: $x_{1,2} = \frac{-3 \mp \sqrt{-7-16a}}{8}$. Решение неравенства $4x^2+3x+1+a \le 0$: $x \in [\frac{-3 - \sqrt{-7-16a}}{8}, \frac{-3 + \sqrt{-7-16a}}{8}]$.

- При $-1/2 \le a < -7/16$: система 1) решений не имеет. В системе 2) $x \ge a$. Решение $x \in [\frac{-3 - \sqrt{-7-16a}}{8}, \frac{-3 + \sqrt{-7-16a}}{8}]$. - При $a < -1/2$: система 1) дает $x \in [a, -1/2)$. Система 2) требует $x \ge -1/2$, и ее решение $x \in [-1/2, \frac{-3 + \sqrt{-7-16a}}{8}]$. Объединяя решения из систем 1) и 2), получаем: $[a, -1/2) \cup [-1/2, \frac{-3 + \sqrt{-7-16a}}{8}] = [a, \frac{-3 + \sqrt{-7-16a}}{8}]$.

Ответ:

при $a > -7/16$: $x \in \emptyset$;

при $a = -7/16$: $x = -3/8$;

при $-1/2 \le a < -7/16$: $x \in [\frac{-3 - \sqrt{-7-16a}}{8}, \frac{-3 + \sqrt{-7-16a}}{8}]$;

при $a < -1/2$: $x \in [a, \frac{-3 + \sqrt{-7-16a}}{8}]$.

4)

Исходное неравенство: $\sqrt[3]{a+x^3} - x < \sqrt[3]{a}$.

ОДЗ для кубического корня не ограничена, поэтому $x \in \mathbb{R}$ при любом $a \in \mathbb{R}$.

Перенесем $\text{x}$ в правую часть: $\sqrt[3]{a+x^3} < x + \sqrt[3]{a}$.

Функция $y=t^3$ является строго возрастающей, поэтому можно возвести обе части в куб, сохранив знак неравенства: $a+x^3 < (x + \sqrt[3]{a})^3$

$a+x^3 < x^3 + 3x^2\sqrt[3]{a} + 3x(\sqrt[3]{a})^2 + (\sqrt[3]{a})^3$

$a+x^3 < x^3 + 3x^2\sqrt[3]{a} + 3x\sqrt[3]{a^2} + a$

Вычитая из обеих частей $a+x^3$, получаем:

$0 < 3x^2\sqrt[3]{a} + 3x\sqrt[3]{a^2}$

$3x\sqrt[3]{a}(x + \sqrt[3]{a}) > 0$

Рассмотрим три случая для параметра $\text{a}$:

Случай 1: $a = 0$.

Неравенство принимает вид $0 > 0$, что неверно. Решений нет.

Случай 2: $a > 0$.

Тогда $\sqrt[3]{a} > 0$. Можно разделить неравенство на $3\sqrt[3]{a}$ без изменения знака: $x(x+\sqrt[3]{a}) > 0$.

Корни левой части: $x_1=0$ и $x_2=-\sqrt[3]{a}$. Так как $a>0$, то $-\sqrt[3]{a} < 0$. Решением неравенства является объединение интервалов, лежащих вне корней: $x \in (-\infty, -\sqrt[3]{a}) \cup (0, +\infty)$.

Случай 3: $a < 0$.

Тогда $\sqrt[3]{a} < 0$. При делении на $3\sqrt[3]{a}$ знак неравенства меняется на противоположный: $x(x+\sqrt[3]{a}) < 0$.

Корни те же: $x_1=0$ и $x_2=-\sqrt[3]{a}$. Так как $a<0$, то $-\sqrt[3]{a} > 0$. Решением неравенства является интервал между корнями: $x \in (0, -\sqrt[3]{a})$.

Ответ:

при $a > 0$: $x \in (-\infty, -\sqrt[3]{a}) \cup (0, +\infty)$;

при $a = 0$: $x \in \emptyset$;

при $a < 0$: $x \in (0, -\sqrt[3]{a})$.