Вопросы, страница 157, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какое число называют мнимой единицей? Чему равен квадрат этого числа?

2. Дайте определение комплексного числа и объясните, почему его части обозначаются $\text{Re}(z)$ и $\text{Im}(z)$?

3. В каком случае комплексное число является действительным?

4. Какое условие должно выполняться для равенства двух комплексных чисел?

5. Как изображают комплексное число на комплексной плоскости?

6. В чем геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа?

7. Какое число называют сопряженным данному комплексному числу?

1. Мнимой единицей называют число, обозначаемое буквой i, которое вводится таким образом, что его квадрат равен -1. Это число не является действительным и расширяет множество действительных чисел до множества комплексных чисел. Основное свойство мнимой единицы выражается формулой: $i^2 = -1$.

Ответ: Мнимая единица – это число i, квадрат которого равен -1.

2. Комплексным числом z называется выражение вида $z = a + bi$, где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица. Число a называется действительной (или вещественной) частью комплексного числа, а число b – мнимой частью. Обозначения Re(z) и Im(z) происходят от латинских слов "realis" (вещественный) и "imaginarius" (мнимый) соответственно, что в переводе на английский звучит как "Real part" и "Imaginary part". Таким образом, для числа $z = a + bi$, имеем $a = \text{Re}(z)$ и $b = \text{Im}(z)$.

Ответ: Комплексное число – это число вида $z = a + bi$. Его части обозначаются Re(z) и Im(z), так как это сокращения от "Real part" (действительная часть) и "Imaginary part" (мнимая часть).

3. Комплексное число $z = a + bi$ является действительным, если его мнимая часть равна нулю. То есть, если $b = 0$. В этом случае комплексное число принимает вид $z = a + 0i = a$, что является действительным числом. Таким образом, множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел.

Ответ: Комплексное число является действительным, если его мнимая часть равна нулю ($ \text{Im}(z) = 0 $).

4. Два комплексных числа $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ считаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части. Математически это условие записывается так: $z_1 = z_2 \iff (a_1 = a_2 \text{ и } b_1 = b_2)$.

Ответ: Два комплексных числа равны, если равны их действительные части и равны их мнимые части.

5. Комплексное число $z = a + bi$ изображают на плоскости, которая называется комплексной плоскостью (или плоскостью Гаусса). Горизонтальная ось называется действительной осью (осью Re), а вертикальная – мнимой осью (осью Im). Комплексному числу $z = a + bi$ ставится в соответствие точка с координатами $(a, b)$. Также это число можно изобразить в виде радиус-вектора, проведенного из начала координат $(0, 0)$ в точку $(a, b)$.

Ответ: Комплексное число $z = a + bi$ изображают как точку с координатами $(a, b)$ на комплексной плоскости, где a – абсцисса, а b – ордината.

6. Геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа $z = a + bi$, изображенного на комплексной плоскости, следующий:

– Модуль комплексного числа, обозначаемый как $|z|$, – это расстояние от начала координат до точки $(a, b)$, соответствующей этому числу. Иными словами, это длина радиус-вектора, изображающего комплексное число. Модуль вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

– Аргумент комплексного числа, обозначаемый как $\arg(z)$ или $\phi$, – это угол, образованный радиус-вектором этого числа и положительным направлением действительной оси. Угол отсчитывается против часовой стрелки.

Ответ: Модуль – это расстояние от начала координат до точки, изображающей число, а аргумент – это угол между радиус-вектором этой точки и положительным направлением действительной оси.

7. Число, сопряженное данному комплексному числу $z = a + bi$, – это комплексное число $\bar{z}$, которое имеет ту же действительную часть, но противоположную по знаку мнимую часть. Таким образом, если $z = a + bi$, то сопряженное ему число равно $\bar{z} = a - bi$. Геометрически на комплексной плоскости сопряженное число является точкой, симметричной точке исходного числа относительно действительной оси.

Ответ: Сопряженным к числу $z = a + bi$ является число $\bar{z} = a - bi$.