Номер 4.38, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.38. Решите иррациональное неравенство:

1) $\sqrt{2x-3} > x;$

2) $\sqrt{x+18} > 2+x;$

3) $\sqrt{4x+5} < x;$

4) $\sqrt[3]{2x-1} < x-1;$

5) $\sqrt{2x-x^2} < 5-x;$

6) $\sqrt{x^2+3x} + x < 2x+1.$

1) $\sqrt{2x-3} > x$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

$ \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} $ или $ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} $

В нашем случае $f(x) = 2x-3$ и $g(x) = x$.

Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} x < 0 \\ 2x-3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x \ge 1.5 \end{cases} $

Эта система не имеет решений, так как промежутки $x < 0$ и $x \ge 1.5$ не пересекаются.

Рассмотрим вторую систему:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ 2x-3 > x^2 \end{cases} $

Решим второе неравенство системы: $x^2 - 2x + 3 < 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 2x + 3$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен, парабола $y = x^2 - 2x + 3$ полностью лежит выше оси Ox, то есть $x^2 - 2x + 3 > 0$ для любого $\text{x}$.

Следовательно, неравенство $x^2 - 2x + 3 < 0$ не имеет решений. Значит, и вторая система не имеет решений.

Так как обе системы не имеют решений, исходное неравенство также не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2) $\sqrt{x+18} > 2+x$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$, где $f(x) = x+18$ и $g(x) = 2+x$, равносильно совокупности двух систем.

Первая система:

$ \begin{cases} 2+x < 0 \\ x+18 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -2 \\ x \ge -18 \end{cases} $

Решением этой системы является промежуток $x \in [-18, -2)$.

Вторая система:

$ \begin{cases} 2+x \ge 0 \\ x+18 > (2+x)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x+18 > 4 + 4x + x^2 \end{cases} $

Решим второе неравенство: $x^2 + 3x - 14 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 14 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-5$ и $x_2=2$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 3x - 14$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (-5, 2)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием $x \ge -2$:

$x \in (-5, 2) \cap [-2, \infty)$, что дает $x \in [-2, 2)$.

Объединяем решения обеих систем: $[-18, -2) \cup [-2, 2) = [-18, 2)$.

Ответ: $x \in [-18, 2)$.

3) $\sqrt{4x+5} < x$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $

В данном случае $f(x)=4x+5$ и $g(x)=x$.

$ \begin{cases} 4x+5 \ge 0 \\ x > 0 \\ 4x+5 < x^2 \end{cases} $

Решим систему пошагово:

1. $4x+5 \ge 0 \implies 4x \ge -5 \implies x \ge -1.25$.

2. $x > 0$.

3. $x^2 - 4x - 5 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-1$ и $x_2=5$.

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется вне корней: $x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)$.

Теперь найдем пересечение всех трех условий:

$x \ge -1.25$, $x > 0$, и $x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)$.

Из первых двух условий следует $x > 0$.

Пересекая $(0, \infty)$ с $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$, получаем $(5, \infty)$.

Ответ: $x \in (5, \infty)$.

4) $\sqrt[3]{2x-1} < x-1$

Так как кубический корень является монотонно возрастающей функцией, определенной для всех действительных чисел, можно возвести обе части неравенства в куб, сохраняя знак неравенства:

$2x-1 < (x-1)^3$

$2x-1 < x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

$0 < x^3 - 3x^2 + x$

$x(x^2 - 3x + 1) > 0$

Найдем корни многочлена $P(x) = x(x^2 - 3x + 1)$.

Один корень $x_1 = 0$.

Другие корни найдем из уравнения $x^2 - 3x + 1 = 0$:

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Получили три корня: $x_1=0$, $x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$, $x_3=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $\text{0}$, $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$, $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$, и применим метод интервалов для $x(x^2 - 3x + 1) > 0$.

Проверим знаки на интервалах:

- при $x > \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ выражение положительно.

- при $\frac{3-\sqrt{5}}{2} < x < \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ выражение отрицательно.

- при $0 < x < \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ выражение положительно.

- при $x < 0$ выражение отрицательно.

Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, поэтому выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (0, \frac{3-\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \infty)$.

5) $\sqrt{2x-x^2} < 5-x$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $

В данном случае $f(x)=2x-x^2$ и $g(x)=5-x$.

$ \begin{cases} 2x-x^2 \ge 0 \\ 5-x > 0 \\ 2x-x^2 < (5-x)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $2x-x^2 \ge 0 \implies x(2-x) \ge 0$. Корни $\text{0}$ и $\text{2}$. Парабола ветвями вниз. Решение: $x \in [0, 2]$.

2. $5-x > 0 \implies x < 5$.

3. $2x-x^2 < 25 - 10x + x^2 \implies 0 < 2x^2 - 12x + 25$.

Для квадратного трехчлена $2x^2 - 12x + 25$ дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25 = 144 - 200 = -56$.

Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($2>0$), то $2x^2 - 12x + 25 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем пересечение решений: $x \in [0, 2]$ и $x < 5$.

Пересечением является промежуток $[0, 2]$.

Ответ: $x \in [0, 2]$.

6) $\sqrt{x^2+3x}+x < 2x+1$

Сначала упростим неравенство, перенеся $\text{x}$ из левой части в правую:

$\sqrt{x^2+3x} < 2x+1-x$

$\sqrt{x^2+3x} < x+1$

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$, где $f(x) = x^2+3x$ и $g(x) = x+1$. Оно равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2+3x \ge 0 \\ x+1 > 0 \\ x^2+3x < (x+1)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $x^2+3x \ge 0 \implies x(x+3) \ge 0$. Корни $\text{0}$ и $-3$. Парабола ветвями вверх. Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [0, \infty)$.

2. $x+1 > 0 \implies x > -1$.

3. $x^2+3x < x^2+2x+1 \implies 3x < 2x+1 \implies x < 1$.

Найдем пересечение всех трех условий.

Из второго и третьего условий: $x > -1$ и $x < 1$, что дает $x \in (-1, 1)$.

Теперь пересечем этот результат с первым условием: $x \in (-1, 1) \cap ((-\infty, -3] \cup [0, \infty))$.

Пересечение $(-1, 1)$ с $(-\infty, -3]$ пусто. Пересечение $(-1, 1)$ с $[0, \infty)$ дает $[0, 1)$.

Ответ: $x \in [0, 1)$.