Номер 5.9, страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.9. Дано комплексное число $z = 2 - 4i$. Изобразите на комплексной плоскости число:

1) $\text{z}$;
2) $-z$;
3) $\bar{z}$;
4) $-\bar{z}$;
5) $\text{iz}$;
6) $-iz$;
7) $i\bar{z}$;
8) $\overline{(iz)}$.

Дано комплексное число $z = 2 - 4i$. Действительная часть этого числа $Re(z) = 2$, а мнимая часть $Im(z) = -4$. На комплексной плоскости, где по горизонтальной оси откладывается действительная часть, а по вертикальной — мнимая, это число соответствует точке с координатами $(2, -4)$.

Найдем и определим координаты на комплексной плоскости для каждого из заданных чисел.

1) z;

Исходное число $z = 2 - 4i$. На комплексной плоскости ему соответствует точка с координатами $(2, -4)$.

Ответ: $2 - 4i$.

2) -z;

Находим число, противоположное $\text{z}$: $-z = -(2 - 4i) = -2 + 4i$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(-2, 4)$, которая симметрична точке $\text{z}$ относительно начала координат.

Ответ: $-2 + 4i$.

3) $\bar{z}$;

Находим число, комплексно-сопряженное к $\text{z}$, изменив знак у мнимой части: $\bar{z} = \overline{2 - 4i} = 2 + 4i$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(2, 4)$, которая симметрична точке $\text{z}$ относительно действительной оси (оси Re).

Ответ: $2 + 4i$.

4) $-\bar{z}$;

Находим число, противоположное комплексно-сопряженному к $\text{z}$: $-\bar{z} = -(2 + 4i) = -2 - 4i$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(-2, -4)$, которая симметрична точке $\text{z}$ относительно мнимой оси (оси Im).

Ответ: $-2 - 4i$.

5) iz;

Умножаем число $\text{z}$ на мнимую единицу $\text{i}$ (помня, что $i^2 = -1$): $iz = i(2 - 4i) = 2i - 4i^2 = 2i - 4(-1) = 4 + 2i$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(4, 2)$. Геометрически умножение на $\text{i}$ соответствует повороту вектора, изображающего число $\text{z}$, на $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг начала координат.

Ответ: $4 + 2i$.

6) -iz;

Находим число, противоположное $iz$: $-iz = -(4 + 2i) = -4 - 2i$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(-4, -2)$. Геометрически это соответствует повороту вектора $\text{z}$ на $90^\circ$ по часовой стрелке (или на $-90^\circ$).

Ответ: $-4 - 2i$.

7) $i\bar{z}$;

Умножаем комплексно-сопряженное число $\bar{z} = 2 + 4i$ на $\text{i}$: $i\bar{z} = i(2 + 4i) = 2i + 4i^2 = 2i + 4(-1) = -4 + 2i$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(-4, 2)$.

Ответ: $-4 + 2i$.

8) $\overline{(iz)}$;

Находим число, комплексно-сопряженное к $iz$. Мы уже вычислили, что $iz = 4 + 2i$. Тогда: $\overline{(iz)} = \overline{4 + 2i} = 4 - 2i$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(4, -2)$. Эта точка симметрична точке $iz$ относительно действительной оси.

Ответ: $4 - 2i$.