Номер 5.14, страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.14. Изобразите на комплексной плоскости множества всех чисел $z = x + yi$, удовлетворяющих следующим условиям:

1) $x = 2$;

2) $1 \le x \le 3$;

3) $\text{Re } z = \text{Im } z$;

4) $\text{Im } z = 2\text{Re } z$.

1) Комплексное число имеет вид $z = x + yi$. Условие $x = 2$ означает, что действительная часть комплексного числа Re $\text{z}$ фиксирована и равна 2, в то время как мнимая часть Im $z = y$ может принимать любое действительное значение. На комплексной плоскости, где по оси абсцисс откладывается действительная часть, а по оси ординат — мнимая, это условие задает множество всех точек с абсциссой 2. Геометрически это представляет собой вертикальную прямую, проходящую через точку $(2, 0)$ и параллельную мнимой оси.

Ответ: Вертикальная прямая, заданная уравнением $x=2$ на комплексной плоскости.

2) Условие $1 \le x \le 3$ для комплексного числа $z = x + yi$ означает, что его действительная часть Re $z = x$ может принимать любое значение в промежутке от 1 до 3 включительно. Мнимая часть Im $z = y$ не ограничена и может быть любым действительным числом. На комплексной плоскости это множество точек, абсциссы которых лежат в диапазоне $[1, 3]$. Геометрически это бесконечная полоса, заключенная между двумя вертикальными прямыми $x=1$ и $x=3$. Поскольку неравенства нестрогие, сами прямые $x=1$ и $x=3$ также являются частью множества.

Ответ: Замкнутая вертикальная полоса на комплексной плоскости, ограниченная прямыми $x=1$ и $x=3$.

3) Для комплексного числа $z = x + yi$ действительная часть равна Re $z = x$, а мнимая часть — Im $z = y$. Условие Re $z = \text{Im } z$ можно переписать в виде равенства координат: $x = y$ или $y = x$. На комплексной плоскости это уравнение задает прямую линию, проходящую через начало координат $(0, 0)$ под углом $45^\circ$ к положительному направлению действительной оси. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Ответ: Прямая $y=x$, которая является биссектрисой первого и третьего квадрантов комплексной плоскости.

4) Для комплексного числа $z = x + yi$ имеем Re $z = x$ и Im $z = y$. Условие Im $z = 2\text{Re } z$ эквивалентно уравнению $y = 2x$. На комплексной плоскости это уравнение задает прямую линию, которая проходит через начало координат $(0, 0)$. Тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению действительной оси равен 2. Каждая точка этой прямой соответствует комплексному числу, у которого мнимая часть в два раза больше действительной.

Ответ: Прямая $y=2x$, проходящая через начало координат комплексной плоскости.