Практическая работа, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

Изобразите на комплексной плоскости число $z = 1 + i$ и его степени 2,3,4,..., 10. Соедините точки линией. Опишите полученную фигуру. Затем на этой же плоскости изобразите число $z = 1 - i$ и его степени 2,3,4,..., 10. Соедините точки комплексной плоскости линией. Опишите полученную фигуру.

Рис. 5.3

Степени числа z = 1 + i

Для нахождения и изображения степеней комплексного числа $z = 1 + i$ представим его в тригонометрической (показательной) форме. Это позволит легко вычислять степени с помощью формулы Муавра.

1. Находим модуль и аргумент числа $z = 1 + i$.

Модуль: $|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Аргумент: $\varphi = \arg(z) = \arctan(\frac{1}{1}) = \frac{\pi}{4}$ (поскольку $x=1 > 0$, $y=1 > 0$, точка находится в I четверти).

2. Записываем число в тригонометрической форме:

$z = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4}))$.

3. Используем формулу Муавра $z^n = |z|^n(\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$ для вычисления степеней:

$z^n = (\sqrt{2})^n(\cos(\frac{n\pi}{4}) + i \sin(\frac{n\pi}{4}))$.

Из этой формулы видно, что при увеличении степени $\text{n}$ на 1, модуль числа (расстояние от начала координат) умножается на $\sqrt{2}$, а аргумент (угол поворота от положительного направления оси Ox) увеличивается на $\frac{\pi}{4}$ или $45^\circ$.

4. Вычислим значения для $n = 1, 2, ..., 10$:

• $z^1 = 1 + i$
• $z^2 = (\sqrt{2})^2(\cos(\frac{2\pi}{4}) + i\sin(\frac{2\pi}{4})) = 2(0 + i) = 2i$
• $z^3 = 2\sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4})) = 2\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2 + 2i$
• $z^4 = 4(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) = -4$
• $z^5 = 4\sqrt{2}(\cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4})) = -4 - 4i$
• $z^6 = 8(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2})) = -8i$
• $z^7 = 8\sqrt{2}(\cos(\frac{7\pi}{4}) + i\sin(\frac{7\pi}{4})) = 8 - 8i$
• $z^8 = 16(\cos(2\pi) + i\sin(2\pi)) = 16$
• $z^9 = 16\sqrt{2}(\cos(\frac{9\pi}{4}) + i\sin(\frac{9\pi}{4})) = 16 + 16i$
• $z^{10} = 32(\cos(\frac{5\pi}{2}) + i\sin(\frac{5\pi}{2})) = 32i$

5. Описание фигуры.

Точки $z, z^2, ..., z^{10}$ на комплексной плоскости лежат на логарифмической спирали, которая раскручивается из начала координат против часовой стрелки. Соединение этих точек последовательно линиями образует ломаную, аппроксимирующую эту спираль.

Ответ: При соединении точек, соответствующих числу $z = 1 + i$ и его степеням до 10-й, на комплексной плоскости образуется ломаная линия. Эта ломаная является частью логарифмической спирали, раскручивающейся против часовой стрелки. Расстояние от начала координат до каждой следующей точки увеличивается в $\sqrt{2}$ раз, а угол поворота между радиус-векторами соседних точек составляет $45^\circ$.

Степени числа z = 1 - i

Теперь рассмотрим число $z = 1 - i$ и его степени. Это число является комплексно-сопряженным к $1+i$.

1. Находим модуль и аргумент числа $z = 1 - i$.

Модуль: $|z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

Аргумент: $\varphi = \arg(z) = \arctan(\frac{-1}{1}) = -\frac{\pi}{4}$ (поскольку $x=1 > 0$, $y=-1 < 0$, точка находится в IV четверти).

2. Тригонометрическая форма: $z = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4}))$.

3. Степени вычисляются по формуле:

$z^n = (\sqrt{2})^n(\cos(-\frac{n\pi}{4}) + i \sin(-\frac{n\pi}{4}))$.

В этом случае модуль также увеличивается в $\sqrt{2}$ раз с каждой степенью, но аргумент уменьшается на $\frac{\pi}{4}$, что соответствует повороту по часовой стрелке.

4. Вычислим значения для $n = 1, 2, ..., 10$. Так как $1-i = \overline{1+i}$, то $(1-i)^n = \overline{(1+i)^n}$. Можно просто взять комплексно-сопряженные значения из первого задания.

• $z^1 = 1 - i$
• $z^2 = -2i$
• $z^3 = -2 - 2i$
• $z^4 = -4$
• $z^5 = -4 + 4i$
• $z^6 = 8i$
• $z^7 = 8 + 8i$
• $z^8 = 16$
• $z^9 = 16 - 16i$
• $z^{10} = -32i$

5. Описание фигуры.

Точки, соответствующие степеням числа $z = 1-i$, также образуют ломаную, лежащую на логарифмической спирали. Однако эта спираль раскручивается по часовой стрелке и является зеркальным отражением первой спирали относительно действительной оси Ox.

Ответ: При соединении точек, соответствующих числу $z = 1 - i$ и его степеням, образуется ломаная линия, аппроксимирующая логарифмическую спираль, которая раскручивается по часовой стрелке. Эта фигура симметрична фигуре, полученной для числа $1+i$, относительно действительной оси.