Номер 5.21, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.21. Даны комплексные числа $z = 2 + 3i$ и $w = 6 - 4i$. Найдите следующее число:

1) $\bar{z} + \bar{w}$;

2) $\bar{z} - \bar{w}$;

3) $\operatorname{Im}(z + \bar{z})$;

4) $\operatorname{Re}(w - \bar{w})$;

5) $z\bar{z} - w\bar{w}$;

6) $z\bar{w} - \bar{z}w$.

Для решения задачи используем данные комплексные числа $z = 2 + 3i$ и $w = 6 - 4i$.

Найдём комплексно-сопряжённые к ним числа:

$\bar{z} = \overline{2 + 3i} = 2 - 3i$

$\bar{w} = \overline{6 - 4i} = 6 + 4i$

1) $\bar{z} + \bar{w}$;

Для нахождения суммы $\bar{z} + \bar{w}$ подставим значения сопряжённых чисел и выполним сложение. Складываем отдельно действительные и мнимые части:

$\bar{z} + \bar{w} = (2 - 3i) + (6 + 4i) = (2 + 6) + (-3 + 4)i = 8 + 1i = 8 + i$.

Ответ: $8 + i$

2) $\bar{z} - \bar{w}$;

Для нахождения разности $\bar{z} - \bar{w}$ подставим значения сопряжённых чисел и выполним вычитание. Вычитаем отдельно действительные и мнимые части:

$\bar{z} - \bar{w} = (2 - 3i) - (6 + 4i) = (2 - 6) + (-3 - 4)i = -4 - 7i$.

Ответ: $-4 - 7i$

3) Im($z + \bar{z}$);

Сначала найдём сумму $z + \bar{z}$. Сумма комплексного числа и его сопряжённого равна удвоенной действительной части этого числа ($z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)$):

$z + \bar{z} = (2 + 3i) + (2 - 3i) = (2 + 2) + (3 - 3)i = 4$.

Теперь найдём мнимую часть полученного числа. Мнимая часть действительного числа равна нулю:

$\text{Im}(z + \bar{z}) = \text{Im}(4) = 0$.

Ответ: $\text{0}$

4) Re($w - \bar{w}$);

Сначала найдём разность $w - \bar{w}$. Разность комплексного числа и его сопряжённого равна удвоенной мнимой части, умноженной на $\text{i}$ ($w - \bar{w} = 2i\text{Im}(w)$):

$w - \bar{w} = (6 - 4i) - (6 + 4i) = (6 - 6) + (-4 - 4)i = -8i$.

Теперь найдём действительную часть полученного числа. Действительная часть чисто мнимого числа равна нулю:

$\text{Re}(w - \bar{w}) = \text{Re}(-8i) = 0$.

Ответ: $\text{0}$

5) $z\bar{z} - w\bar{w}$;

Произведение комплексного числа на его сопряжённое равно квадрату модуля этого числа ($z\bar{z} = |z|^2 = (\text{Re}(z))^2 + (\text{Im}(z))^2$).

Вычислим $z\bar{z}$:

$z\bar{z} = (2 + 3i)(2 - 3i) = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.

Вычислим $w\bar{w}$:

$w\bar{w} = (6 - 4i)(6 + 4i) = 6^2 + (-4)^2 = 36 + 16 = 52$.

Теперь найдём их разность:

$z\bar{z} - w\bar{w} = 13 - 52 = -39$.

Ответ: $-39$

6) $z\bar{w} - \bar{z}w$;

Для вычисления этого выражения найдём каждое произведение по отдельности.

Вычислим $z\bar{w}$:

$z\bar{w} = (2 + 3i)(6 + 4i) = 2 \cdot 6 + 2 \cdot 4i + 3i \cdot 6 + 3i \cdot 4i = 12 + 8i + 18i + 12i^2 = 12 + 26i - 12 = 26i$.

Вычислим $\bar{z}w$. Можно заметить, что $\bar{z}w$ является сопряжённым к $z\bar{w}$ ($\bar{z}w = \overline{z\bar{w}}$).

$\bar{z}w = \overline{26i} = -26i$.

Вычислим разность:

$z\bar{w} - \bar{z}w = 26i - (-26i) = 26i + 26i = 52i$.

Ответ: $52i$