Номер 5.28, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.28. Используя равенство $(x + yi)^2 = a + bi$, вычислите значение квадратного корня:

1) $\sqrt{4}$;

2) $\sqrt{-4}$;

3) $\sqrt{9i}$;

4) $\sqrt{-25i}$.

Для вычисления квадратного корня из комплексного числа $z = a+bi$ мы ищем такое комплексное число $w = x+yi$, где $\text{x}$ и $\text{y}$ — действительные числа, что $w^2 = z$.

Раскрывая квадрат, получаем:

$(x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = (x^2 - y^2) + (2xy)i$.

Приравнивая действительные и мнимые части равенства $(x + yi)^2 = a + bi$, мы получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = a \\ 2xy = b \end{cases} $

Решая эту систему для каждого случая, мы находим значения $\text{x}$ и $\text{y}$, и, следовательно, квадратные корни.

1) $\sqrt{4}$;

В данном случае подкоренное выражение равно $\text{4}$. В виде комплексного числа это $z = 4 + 0i$. Таким образом, $a=4$ и $b=0$. Система уравнений принимает вид: $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 4 \\ 2xy = 0 \end{cases} $ Из второго уравнения следует, что либо $x=0$, либо $y=0$. Если $y=0$, то первое уравнение становится $x^2 = 4$, откуда $x = \pm 2$. Это дает два решения: $2+0i=2$ и $-2+0i=-2$. Если $x=0$, то первое уравнение становится $-y^2 = 4$, или $y^2 = -4$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах для $\text{y}$. Следовательно, квадратными корнями из 4 являются 2 и -2.

Ответ: $ \pm 2 $.

2) $\sqrt{-4}$;

Здесь подкоренное выражение равно $-4$. В виде комплексного числа это $z = -4 + 0i$. Таким образом, $a=-4$ и $b=0$. Система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - y^2 = -4 \\ 2xy = 0 \end{cases} $ Из второго уравнения следует, что либо $x=0$, либо $y=0$. Если $y=0$, то первое уравнение становится $x^2 = -4$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах для $\text{x}$. Если $x=0$, то первое уравнение становится $-y^2 = -4$, или $y^2 = 4$, откуда $y = \pm 2$. Это дает два решения: $0+2i=2i$ и $0-2i=-2i$. Следовательно, квадратными корнями из -4 являются $2i$ и $-2i$.

Ответ: $ \pm 2i $.

3) $\sqrt{9i}$;

Здесь подкоренное выражение равно $9i$. В виде комплексного числа это $z = 0 + 9i$. Таким образом, $a=0$ и $b=9$. Система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ 2xy = 9 \end{cases} $ Из первого уравнения следует, что $x^2 = y^2$, то есть $x=y$ или $x=-y$. Рассмотрим случай $x=y$. Подставляя это во второе уравнение, получаем $2y \cdot y = 9$, или $2y^2 = 9$. Отсюда $y^2 = \frac{9}{2}$, и $y = \pm \sqrt{\frac{9}{2}} = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Так как $x=y$, получаем два решения: $x_1 = \frac{3\sqrt{2}}{2}, y_1 = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = -\frac{3\sqrt{2}}{2}, y_2 = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует комплексным числам $\frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Рассмотрим случай $x=-y$. Подставляя это во второе уравнение, получаем $2(-y) \cdot y = 9$, или $-2y^2 = 9$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах для $\text{y}$. Следовательно, квадратными корнями из $9i$ являются $\pm \left(\frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$.

Ответ: $ \pm \left(\frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) $.

4) $\sqrt{-25i}$.

Здесь подкоренное выражение равно $-25i$. В виде комплексного числа это $z = 0 - 25i$. Таким образом, $a=0$ и $b=-25$. Система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ 2xy = -25 \end{cases} $ Из первого уравнения следует, что $x^2 = y^2$, то есть $x=y$ или $x=-y$. Рассмотрим случай $x=y$. Подставляя это во второе уравнение, получаем $2y \cdot y = -25$, или $2y^2 = -25$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах для $\text{y}$. Рассмотрим случай $x=-y$. Подставляя это во второе уравнение, получаем $2(-y) \cdot y = -25$, или $-2y^2 = -25$, откуда $y^2 = \frac{25}{2}$. Следовательно, $y = \pm \sqrt{\frac{25}{2}} = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}$. Так как $x=-y$, мы получаем два решения: Если $y_1 = \frac{5\sqrt{2}}{2}$, то $x_1 = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$. Если $y_2 = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$, то $x_2 = \frac{5\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует комплексным числам $\frac{5\sqrt{2}}{2} - i\frac{5\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{5\sqrt{2}}{2}$. Их можно записать в виде $\pm \left(\frac{5\sqrt{2}}{2} - i\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)$.

Ответ: $ \pm \left(\frac{5\sqrt{2}}{2} - i\frac{5\sqrt{2}}{2}\right) $.