Номер 5.33, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.33. Вычислите:

1) $i^{13};$

2) $i^{65};$

3) $\left(\frac{1}{1-i}\right)^2;$

4) $\frac{5}{1+2i};$

5) $\frac{2i-3}{1+i};$

6) $\frac{2+3i}{i};$

7) $\frac{1+2i}{-2+i}(-i)+1;$

8) $\frac{2+i}{2-i}-(3+4i)+\frac{4-i}{3+2i};$

9) $(2-i)^2.$

1)

Для вычисления $i^{13}$ воспользуемся циклическим свойством степеней мнимой единицы $\text{i}$. Степени $\text{i}$ повторяются с периодом 4:

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = -i$

$i^4 = 1$

Чтобы найти значение $i^{13}$, найдем остаток от деления показателя степени 13 на 4.

$13 = 4 \cdot 3 + 1$

Следовательно, показатель степени 13 эквивалентен показателю 1.

$i^{13} = i^{4 \cdot 3 + 1} = (i^4)^3 \cdot i^1 = 1^3 \cdot i = i$

Ответ: $\text{i}$.

2)

Аналогично первому пункту, для вычисления $i^{65}$ найдем остаток от деления 65 на 4.

$65 = 4 \cdot 16 + 1$

Показатель степени 65 эквивалентен показателю 1.

$i^{65} = i^{4 \cdot 16 + 1} = (i^4)^{16} \cdot i^1 = 1^{16} \cdot i = i$

Ответ: $\text{i}$.

3)

Для вычисления $(\frac{1}{1-i})^2$ сначала упростим выражение в скобках. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Сопряженное к $1-i$ есть $1+i$.

$\frac{1}{1-i} = \frac{1 \cdot (1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i}{1^2 - i^2} = \frac{1+i}{1 - (-1)} = \frac{1+i}{2}$

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$(\frac{1+i}{2})^2 = \frac{(1+i)^2}{2^2} = \frac{1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2}{4} = \frac{1+2i-1}{4} = \frac{2i}{4} = \frac{i}{2}$

Ответ: $\frac{i}{2}$.

4)

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе дроби $\frac{5}{1+2i}$, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Сопряженное к $1+2i$ есть $1-2i$.

$\frac{5}{1+2i} = \frac{5(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{5-10i}{1^2 - (2i)^2} = \frac{5-10i}{1 - 4i^2} = \frac{5-10i}{1 - 4(-1)} = \frac{5-10i}{1+4} = \frac{5-10i}{5}$

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$\frac{5}{5} - \frac{10i}{5} = 1 - 2i$

Ответ: $1-2i$.

5)

Для вычисления $\frac{2i-3}{1+i}$ умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю ($1-i$).

$\frac{2i-3}{1+i} = \frac{-3+2i}{1+i} = \frac{(-3+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{-3(1) -3(-i) + 2i(1) + 2i(-i)}{1^2 - i^2}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\frac{-3+3i+2i-2i^2}{1-(-1)} = \frac{-3+5i-2(-1)}{2} = \frac{-3+5i+2}{2} = \frac{-1+5i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$

Ответ: $-\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$.

6)

Для упрощения выражения $\frac{2+3i}{i}$ можно умножить числитель и знаменатель на $\text{i}$.

$\frac{2+3i}{i} = \frac{(2+3i) \cdot i}{i \cdot i} = \frac{2i+3i^2}{i^2} = \frac{2i+3(-1)}{-1} = \frac{-3+2i}{-1} = 3-2i$

Ответ: $3-2i$.

7)

Рассмотрим выражение $\frac{1+2i}{-2+i}(-i)+1$. Сначала упростим дробь $\frac{1+2i}{-2+i}$, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю ($-2-i$).

$\frac{1+2i}{-2+i} = \frac{(1+2i)(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)} = \frac{-2-i-4i-2i^2}{(-2)^2 - i^2} = \frac{-2-5i-2(-1)}{4-(-1)} = \frac{-2-5i+2}{5} = \frac{-5i}{5} = -i$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(-i)(-i) + 1 = i^2 + 1 = -1 + 1 = 0$

Ответ: $\text{0}$.

8)

Для вычисления выражения $\frac{2+i}{2-i}-(3+4i)+\frac{4-i}{3+2i}$ вычислим значения дробей по отдельности.

Первая дробь:

$\frac{2+i}{2-i} = \frac{(2+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{(2+i)^2}{2^2-i^2} = \frac{4+4i+i^2}{4-(-1)} = \frac{4+4i-1}{5} = \frac{3+4i}{5}$

Вторая дробь:

$\frac{4-i}{3+2i} = \frac{(4-i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)} = \frac{12-8i-3i+2i^2}{3^2-(2i)^2} = \frac{12-11i+2(-1)}{9-4i^2} = \frac{12-11i-2}{9+4} = \frac{10-11i}{13}$

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$\frac{3+4i}{5} - (3+4i) + \frac{10-11i}{13}$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(\frac{3}{5} - 3 + \frac{10}{13}) + (\frac{4}{5} - 4 - \frac{11}{13})i$

Вычислим действительную часть:

$\frac{3}{5} - 3 + \frac{10}{13} = \frac{3 \cdot 13 - 3 \cdot 65 + 10 \cdot 5}{65} = \frac{39 - 195 + 50}{65} = \frac{-106}{65}$

Вычислим мнимую часть:

$(\frac{4}{5} - 4 - \frac{11}{13})i = (\frac{4 \cdot 13 - 4 \cdot 65 - 11 \cdot 5}{65})i = (\frac{52 - 260 - 55}{65})i = \frac{-263}{65}i$

Объединим действительную и мнимую части:

$-\frac{106}{65} - \frac{263}{65}i$

Ответ: $-\frac{106}{65} - \frac{263}{65}i$.

9)

Для вычисления $(2-i)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(2-i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 - 4i + (-1) = 3 - 4i$

Ответ: $3-4i$.