Номер 5.37, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.37. Упростите:

1) $\frac{1}{3+i} - \frac{1}{3-i}$;

2) $\frac{1+i}{1-i} - (1+2i)(2+2i) + \frac{3-i}{1+i}$;

3) $\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$;

4) $2i(-1+i) + (\sqrt{3}-i)^8 + (1+i)(1-i)$.

1)

Для того чтобы упростить выражение $ \frac{1}{3+i} - \frac{1}{3-i} $ , приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей:

$ (3+i)(3-i) $

Это произведение представляет собой разность квадратов:

$ (3+i)(3-i) = 3^2 - i^2 = 9 - (-1) = 10 $

Теперь выполним вычитание дробей:

$ \frac{1}{3+i} - \frac{1}{3-i} = \frac{1 \cdot (3-i)}{(3+i)(3-i)} - \frac{1 \cdot (3+i)}{(3-i)(3+i)} = \frac{(3-i) - (3+i)}{10} $

Упростим числитель:

$ 3-i-3-i = -2i $

Таким образом, получаем:

$ \frac{-2i}{10} = -\frac{1}{5}i $

Ответ: $ -\frac{1}{5}i $

2)

Упростим выражение $ \frac{1+i}{1-i} - (1+2i)(2+2i) + \frac{3-i}{1+i} $ , вычислив значение каждого слагаемого по отдельности.

Первое слагаемое:

$ \frac{1+i}{1-i} $ . Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $ (1+i) $ :

$ \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1+2i-1}{1-(-1)} = \frac{2i}{2} = i $

Второе слагаемое (произведение):

$ (1+2i)(2+2i) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2i + 2i \cdot 2 + 2i \cdot 2i = 2 + 2i + 4i + 4i^2 = 2 + 6i + 4(-1) = 2 + 6i - 4 = -2+6i $

Третье слагаемое:

$ \frac{3-i}{1+i} $ . Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $ (1-i) $ :

$ \frac{(3-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{3 \cdot 1 - 3 \cdot i - i \cdot 1 + (-i)(-i)}{1^2 - i^2} = \frac{3 - 3i - i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{3 - 4i - 1}{2} = \frac{2-4i}{2} = 1-2i $

Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

$ i - (-2+6i) + (1-2i) = i + 2 - 6i + 1 - 2i $

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$ (2+1) + (i - 6i - 2i) = 3 - 7i $

Ответ: $ 3 - 7i $

3)

Чтобы упростить выражение $ (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) $ , выполним умножение комплексных чисел, используя правило раскрытия скобок:

$ (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{1}{2}i \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i $

Выполним умножения:

$ \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{4}i + \frac{1}{4}i + \frac{\sqrt{3}}{4}i^2 $

Поскольку $ i^2 = -1 $ , заменим $ i^2 $ на $ -1 $ и сгруппируем действительные и мнимые части:

$ \frac{\sqrt{3}}{4} + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})i - \frac{\sqrt{3}}{4} = (\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}) + \frac{4}{4}i = 0 + 1 \cdot i = i $

Ответ: $ i $

4)

Упростим выражение $ 2i(-1+i) + (\sqrt{3}-i)^8 + (1+i)(1-i) $ , вычислив значение каждого слагаемого по отдельности.

Первое слагаемое:

$ 2i(-1+i) = 2i \cdot (-1) + 2i \cdot i = -2i + 2i^2 = -2i + 2(-1) = -2-2i $

Второе слагаемое: $ (\sqrt{3}-i)^8 $ . Для возведения в степень удобно использовать формулу Муавра. Сначала представим число $ z = \sqrt{3}-i $ в тригонометрической форме $ z = |z|(\cos \varphi + i \sin \varphi) $ .

Находим модуль: $ |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 $ .

Находим аргумент: $ \cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} $ , $ \sin \varphi = -\frac{1}{2} $ . Этим условиям соответствует угол $ \varphi = -\frac{\pi}{6} $ .

Итак, $ \sqrt{3}-i = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})) $ .

По формуле Муавра $ z^n = |z|^n (\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)) $ :

$ (\sqrt{3}-i)^8 = 2^8 (\cos(8 \cdot (-\frac{\pi}{6})) + i \sin(8 \cdot (-\frac{\pi}{6}))) = 256(\cos(-\frac{8\pi}{6}) + i \sin(-\frac{8\pi}{6})) $

$ = 256(\cos(-\frac{4\pi}{3}) + i \sin(-\frac{4\pi}{3})) $

Учитывая, что $ \cos(-x)=\cos(x) $ и $ \sin(-x)=-\sin(x) $ , а также, что $ -\frac{4\pi}{3} $ котерминален углу $ \frac{2\pi}{3} $ :

$ \cos(-\frac{4\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $

$ \sin(-\frac{4\pi}{3}) = -\sin(\frac{4\pi}{3}) = -(-\sin(\frac{\pi}{3})) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Тогда: $ (\sqrt{3}-i)^8 = 256(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -128 + 128\sqrt{3}i $ .

Третье слагаемое:

$ (1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2 $

Теперь сложим все полученные части:

$ (-2-2i) + (-128 + 128\sqrt{3}i) + 2 $

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$ (-2 - 128 + 2) + (-2i + 128\sqrt{3}i) = -128 + (128\sqrt{3} - 2)i $

Ответ: $ -128 + (128\sqrt{3} - 2)i $