Номер 5.44, страница 165, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.44. Найдите действительные числа x и y, удовлетворяющие равенству:

1) $\frac{x}{1+i} + \frac{y}{1-2i} = 1;$

2) $3x - (1 - i)(x - yi) = 2 + 3i;$

3) $\frac{x}{2-i} + \frac{yi}{3+i} = \frac{2}{1+i};$

4) $x + yi = (1 - i)(2 + 8i).$

1)

Чтобы решить уравнение, избавимся от мнимой единицы в знаменателях дробей. Для этого домножим числитель и знаменатель каждой дроби на число, сопряженное ее знаменателю.

Для первого слагаемого:

$\frac{x}{1+i} = \frac{x(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{x - xi}{1^2 - i^2} = \frac{x - xi}{1 - (-1)} = \frac{x - xi}{2} = \frac{x}{2} - \frac{x}{2}i$

Для второго слагаемого:

$\frac{y}{1-2i} = \frac{y(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{y + 2yi}{1^2 - (2i)^2} = \frac{y + 2yi}{1 - 4i^2} = \frac{y + 2yi}{1+4} = \frac{y + 2yi}{5} = \frac{y}{5} + \frac{2y}{5}i$

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(\frac{x}{2} - \frac{x}{2}i) + (\frac{y}{5} + \frac{2y}{5}i) = 1$

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$(\frac{x}{2} + \frac{y}{5}) + i(-\frac{x}{2} + \frac{2y}{5}) = 1 + 0i$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравняем их и получим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{5} = 1 \\ -\frac{x}{2} + \frac{2y}{5} = 0 \end{cases}$

Умножим оба уравнения на 10, чтобы избавиться от знаменателей:

$\begin{cases} 5x + 2y = 10 \\ -5x + 4y = 0 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения:

$(5x + 2y) + (-5x + 4y) = 10 + 0$

$6y = 10 \Rightarrow y = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Подставим найденное значение $\text{y}$ во второе уравнение системы:

$-5x + 4(\frac{5}{3}) = 0 \Rightarrow -5x + \frac{20}{3} = 0 \Rightarrow 5x = \frac{20}{3} \Rightarrow x = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$

Ответ: $x = \frac{4}{3}, y = \frac{5}{3}$.

2)

Раскроем скобки в левой части уравнения. Сначала выполним умножение:

$(1-i)(x-yi) = 1 \cdot x - 1 \cdot yi - i \cdot x - i(-yi) = x - yi - xi + yi^2 = x - yi - xi - y = (x-y) - i(x+y)$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$3x - ((x-y) - i(x+y)) = 2 + 3i$

$3x - x + y + i(x+y) = 2 + 3i$

$(2x + y) + i(x+y) = 2 + 3i$

Приравняем действительные и мнимые части:

$\begin{cases} 2x + y = 2 \\ x + y = 3 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(2x + y) - (x + y) = 2 - 3 \Rightarrow x = -1$

Подставим значение $\text{x}$ во второе уравнение:

$-1 + y = 3 \Rightarrow y = 4$

Ответ: $x = -1, y = 4$.

3)

Упростим каждое слагаемое в уравнении, избавившись от мнимости в знаменателе.

$\frac{x}{2-i} = \frac{x(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{2x+xi}{4-i^2} = \frac{2x+xi}{5} = \frac{2x}{5} + \frac{x}{5}i$

$\frac{yi}{3+i} = \frac{yi(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{3yi-yi^2}{9-i^2} = \frac{y+3yi}{10} = \frac{y}{10} + \frac{3y}{10}i$

$\frac{2}{1+i} = \frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{2-2i}{1-i^2} = \frac{2-2i}{2} = 1-i$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(\frac{2x}{5} + \frac{x}{5}i) + (\frac{y}{10} + \frac{3y}{10}i) = 1-i$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(\frac{2x}{5} + \frac{y}{10}) + i(\frac{x}{5} + \frac{3y}{10}) = 1-i$

Приравняем действительные и мнимые части, что дает систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{2x}{5} + \frac{y}{10} = 1 \\ \frac{x}{5} + \frac{3y}{10} = -1 \end{cases}$

Умножим оба уравнения на 10:

$\begin{cases} 4x + y = 10 \\ 2x + 3y = -10 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $\text{y}$: $y = 10 - 4x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2x + 3(10 - 4x) = -10$

$2x + 30 - 12x = -10$

$-10x = -40 \Rightarrow x = 4$

Теперь найдем $\text{y}$:

$y = 10 - 4(4) = 10 - 16 = -6$

Ответ: $x = 4, y = -6$.

4)

Выполним умножение комплексных чисел в правой части равенства:

$(1-i)(2+8i) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 8i - i \cdot 2 - i \cdot 8i = 2 + 8i - 2i - 8i^2$

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$2 + 6i - 8(-1) = 2 + 6i + 8 = 10 + 6i$

Таким образом, исходное равенство принимает вид:

$x + yi = 10 + 6i$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Отсюда следует:

$x = 10$

$y = 6$

Ответ: $x = 10, y = 6$.