Номер 5.47, страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.47. Решите следующие уравнения на множестве комплексных чисел. Запишите найденные решения в виде $a + bi$.

1) $(1+i)z = 3+i$

2) $(3-4i)(z-1) = 10-5i$

3) $(2+i)(z-7+3i) = 15-10i$

4) $(3+5i)(z+2-5i) = 6+3i$

1) $(1 + i)z = 3 + i$

Чтобы найти $\text{z}$, разделим обе части уравнения на $(1 + i)$:

$z = \frac{3 + i}{1 + i}$

Для выполнения деления умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $(1 - i)$:

$z = \frac{(3 + i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{3 \cdot 1 - 3 \cdot i + i \cdot 1 - i^2}{1^2 - i^2} = \frac{3 - 3i + i - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{4 - 2i}{2}$

$z = \frac{4}{2} - \frac{2i}{2} = 2 - i$

Ответ: $2 - i$.

2) $(3 - 4i)(z - 1) = 10 - 5i$

Сначала найдем выражение $(z - 1)$, разделив обе части на $(3 - 4i)$:

$z - 1 = \frac{10 - 5i}{3 - 4i}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $(3 + 4i)$:

$z - 1 = \frac{(10 - 5i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} = \frac{10 \cdot 3 + 10 \cdot 4i - 5i \cdot 3 - 5i \cdot 4i}{3^2 - (4i)^2} = \frac{30 + 40i - 15i - 20i^2}{9 - 16i^2} = \frac{30 + 25i - 20(-1)}{9 - 16(-1)} = \frac{50 + 25i}{25}$

$z - 1 = \frac{50}{25} + \frac{25i}{25} = 2 + i$

Теперь найдем $\text{z}$:

$z = 2 + i + 1 = 3 + i$

Ответ: $3 + i$.

3) $(2 + i)(z - 7 + 3i) = 15 - 10i$

Найдем выражение $(z - 7 + 3i)$, разделив обе части на $(2 + i)$:

$z - 7 + 3i = \frac{15 - 10i}{2 + i}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $(2 - i)$:

$z - 7 + 3i = \frac{(15 - 10i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{15 \cdot 2 - 15 \cdot i - 10i \cdot 2 - 10i \cdot (-i)}{2^2 - i^2} = \frac{30 - 15i - 20i + 10i^2}{4 - (-1)} = \frac{30 - 35i + 10(-1)}{5} = \frac{20 - 35i}{5}$

$z - 7 + 3i = \frac{20}{5} - \frac{35i}{5} = 4 - 7i$

Теперь выразим $\text{z}$:

$z = (4 - 7i) + 7 - 3i = (4 + 7) + (-7 - 3)i = 11 - 10i$

Ответ: $11 - 10i$.

4) $(3 + 5i)(z + 2 - 5i) = 6 + 3i$

Найдем выражение $(z + 2 - 5i)$, разделив обе части на $(3 + 5i)$:

$z + 2 - 5i = \frac{6 + 3i}{3 + 5i}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $(3 - 5i)$:

$z + 2 - 5i = \frac{(6 + 3i)(3 - 5i)}{(3 + 5i)(3 - 5i)} = \frac{6 \cdot 3 - 6 \cdot 5i + 3i \cdot 3 - 3i \cdot 5i}{3^2 - (5i)^2} = \frac{18 - 30i + 9i - 15i^2}{9 - 25i^2} = \frac{18 - 21i - 15(-1)}{9 - 25(-1)} = \frac{33 - 21i}{34}$

$z + 2 - 5i = \frac{33}{34} - \frac{21}{34}i$

Теперь выразим $\text{z}$:

$z = \left(\frac{33}{34} - \frac{21}{34}i\right) - (2 - 5i) = \left(\frac{33}{34} - 2\right) + \left(-\frac{21}{34} + 5\right)i$

$z = \left(\frac{33}{34} - \frac{68}{34}\right) + \left(-\frac{21}{34} + \frac{170}{34}\right)i = -\frac{35}{34} + \frac{149}{34}i$

Ответ: $-\frac{35}{34} + \frac{149}{34}i$.