Номер 5.50, страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.50. Комплексное число $z = 2 + 3i$ является корнем уравнения $z^2 + (a - i)z + 16 + bi = 0$, где $\text{a}$ и $\text{b}$ — действительные числа. Найдите значения $\text{a}$ и $\text{b}$.

Поскольку комплексное число $z = 2 + 3i$ является корнем уравнения $z^2 + (a - i)z + 16 + bi = 0$, оно должно удовлетворять этому уравнению. Подставим значение $\text{z}$ в уравнение:

$(2 + 3i)^2 + (a - i)(2 + 3i) + 16 + bi = 0$

Вычислим каждый член уравнения по отдельности. Сначала возведем $\text{z}$ в квадрат:

$z^2 = (2 + 3i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3i + (3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i$

Затем раскроем произведение $(a - i)z$:

$(a - i)(2 + 3i) = 2a + 3ai - 2i - 3i^2 = 2a + 3ai - 2i - 3(-1) = (2a + 3) + (3a - 2)i$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$(-5 + 12i) + ((2a + 3) + (3a - 2)i) + 16 + bi = 0$

Сгруппируем действительные и мнимые части уравнения:

$(-5 + 2a + 3 + 16) + (12 + 3a - 2 + b)i = 0$

Упростим выражение, сложив константы в каждой части:

$(2a + 14) + (3a + b + 10)i = 0$

Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю. Это дает нам систему из двух уравнений с двумя неизвестными $\text{a}$ и $\text{b}$ (где $a, b$ — действительные числа):

$\begin{cases} 2a + 14 = 0 \\ 3a + b + 10 = 0 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения находим $\text{a}$:

$2a = -14 \implies a = -7$

Подставим значение $a = -7$ во второе уравнение, чтобы найти $\text{b}$:

$3(-7) + b + 10 = 0$

$-21 + b + 10 = 0$

$-11 + b = 0 \implies b = 11$

Таким образом, искомые значения $\text{a}$ и $\text{b}$ найдены.

Ответ: $a = -7, b = 11$.