Вопросы, страница 169, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Если известен один комплексный корень квадратного уравнения, можно ли сразу найти его второй корень?

2. Сформулируйте и поясните основную теорему алгебры и ее следствие.

1. Ответ на этот вопрос зависит от коэффициентов квадратного уравнения.

Рассмотрим квадратное уравнение общего вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Случай 1: Коэффициенты $a, b, c$ — действительные числа.

В этом случае, если у уравнения есть один комплексный корень (то есть корень, у которого мнимая часть не равна нулю), то второй корень обязательно будет ему комплексно-сопряженным.

Пусть известен один корень $z_1 = u + iv$, где $v \neq 0$. Тогда второй корень $z_2$ будет равен $\bar{z_1} = u - iv$.

Доказательство: Если $z_1$ является корнем, то $az_1^2 + bz_1 + c = 0$. Возьмем комплексное сопряжение от обеих частей равенства: $\overline{az_1^2 + bz_1 + c} = \overline{0}$.

По свойствам комплексного сопряжения: $\overline{a}\overline{z_1^2} + \overline{b}\overline{z_1} + \overline{c} = 0$.

Так как коэффициенты $a, b, c$ действительные, то $\overline{a}=a, \overline{b}=b, \overline{c}=c$. Также $\overline{z_1^2} = (\overline{z_1})^2$.

Получаем: $a(\overline{z_1})^2 + b(\overline{z_1}) + c = 0$.

Это означает, что число $\overline{z_1}$, комплексно-сопряженное к $z_1$, также является корнем уравнения.

Например, если один корень уравнения с действительными коэффициентами равен $3 + 2i$, то второй корень сразу можно определить как $3 - 2i$.

Случай 2: Коэффициенты $a, b, c$ могут быть комплексными числами.

В этом случае, зная один корень, в общем виде невозможно сразу найти второй. Комплексно-сопряженное число не обязательно будет корнем.

Пример: Уравнение $(x - i)(x - 1) = 0$, которое можно записать как $x^2 - (1+i)x + i = 0$. Коэффициенты этого уравнения комплексные. Его корни — $x_1 = i$ и $x_2 = 1$. Они не являются комплексно-сопряженными.

Ответ: Да, можно, но только при условии, что все коэффициенты квадратного уравнения являются действительными числами. В этом случае второй корень будет комплексно-сопряженным к первому. Если коэффициенты комплексные, то в общем случае — нет.

2. Основная теорема алгебры (ОТА)

Формулировка: Любой многочлен (полином) с комплексными коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.

Пояснение: Теорема утверждает, что для любого многочлена $P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0$, где $n \ge 1$ и коэффициенты $a_k$ являются комплексными числами, всегда найдется такое комплексное число $z_0$, что $P(z_0) = 0$.

Это свойство называется алгебраической замкнутостью поля комплексных чисел. Оно означает, что для решения любого полиномиального уравнения нам не потребуется выходить за пределы множества комплексных чисел. Например, уравнение $x^2+1=0$ не имеет решений в действительных числах, но имеет два решения ($\text{i}$ и $-i$) в комплексных. ОТА гарантирует, что подобной ситуации, когда для решения уравнения не хватает чисел, в поле $\mathbb{C}$ не возникнет.

Следствие из основной теоремы алгебры

Формулировка: Любой многочлен степени $\text{n}$ ($n \ge 1$) с комплексными коэффициентами имеет ровно $\text{n}$ комплексных корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Пояснение: Это следствие вытекает из ОТА путем последовательного применения.

1. Согласно ОТА, у многочлена $P(z)$ степени $\text{n}$ есть хотя бы один корень $z_1$.

2. По теореме Безу, если $z_1$ — корень, то многочлен $P(z)$ делится на $(z-z_1)$ без остатка. То есть, $P(z) = (z-z_1)Q_1(z)$, где $Q_1(z)$ — новый многочлен, степень которого равна $n-1$.

3. Если степень $Q_1(z)$ все еще не меньше единицы, к нему снова можно применить ОТА и найти его корень $z_2$. Тогда $Q_1(z) = (z-z_2)Q_2(z)$, а исходный многочлен примет вид $P(z) = (z-z_1)(z-z_2)Q_2(z)$.

4. Этот процесс можно повторить $\text{n}$ раз, пока мы не получим многочлен нулевой степени (константу).

В результате многочлен $P(z)$ можно представить в виде произведения $\text{n}$ линейных сомножителей и старшего коэффициента $a_n$: $P(z) = a_n(z-z_1)(z-z_2)\dots(z-z_n)$.

Числа $z_1, z_2, \dots, z_n$ и являются корнями многочлена. Некоторые из них могут совпадать. Количество совпадений корня называется его кратностью. Таким образом, у многочлена $\text{n}$-ой степени всегда ровно $\text{n}$ корней с учетом их кратности.

Ответ: Основная теорема алгебры утверждает, что любой многочлен степени $n \ge 1$ с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Следствие из нее гласит, что такой многочлен имеет ровно $\text{n}$ комплексных корней с учетом их кратности.