Номер 5.53, страница 167, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.53. Решите систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 = 1, \\ 3y + x = 20. \end{cases} $

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

Исходная система:

$\begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 = 1, \\ 3y + x = 20. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим переменную $\text{x}$ через $\text{y}$:

$x = 20 - 3y$

Теперь подставим полученное выражение для $\text{x}$ в первое уравнение системы:

$(20 - 3y)^2 + 3(20 - 3y)y + y^2 = 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 3y + (3y)^2) + (60y - 9y^2) + y^2 = 1$

$(400 - 120y + 9y^2) + 60y - 9y^2 + y^2 = 1$

Сгруппируем члены по степеням $\text{y}$:

$(9y^2 - 9y^2 + y^2) + (-120y + 60y) + 400 = 1$

$y^2 - 60y + 400 = 1$

Перенесем 1 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$y^2 - 60y + 399 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 399 = 3600 - 1596 = 2004$

Найдем корни уравнения:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{60 \pm \sqrt{2004}}{2}$

Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{2004} = \sqrt{4 \cdot 501} = 2\sqrt{501}$.

Тогда значения для $\text{y}$ будут:

$y = \frac{60 \pm 2\sqrt{501}}{2} = 30 \pm \sqrt{501}$

Мы получили два возможных значения для $\text{y}$:

$y_1 = 30 + \sqrt{501}$

$y_2 = 30 - \sqrt{501}$

Теперь для каждого значения $\text{y}$ найдем соответствующее значение $\text{x}$ по формуле $x = 20 - 3y$.

Для $y_1 = 30 + \sqrt{501}$:

$x_1 = 20 - 3(30 + \sqrt{501}) = 20 - 90 - 3\sqrt{501} = -70 - 3\sqrt{501}$

Первая пара решений: $(-70 - 3\sqrt{501}; 30 + \sqrt{501})$.

Для $y_2 = 30 - \sqrt{501}$:

$x_2 = 20 - 3(30 - \sqrt{501}) = 20 - 90 + 3\sqrt{501} = -70 + 3\sqrt{501}$

Вторая пара решений: $(-70 + 3\sqrt{501}; 30 - \sqrt{501})$.

Ответ: $(-70 - 3\sqrt{501}; 30 + \sqrt{501})$, $(-70 + 3\sqrt{501}; 30 - \sqrt{501})$.