Номер 5.56, страница 169, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.56. Решите уравнение четвертой степени относительно комплексного числа х:

1) $x^4 + x^2 = 6;$

2) $x^4 - 1 = 0;$

3) $x^4 = 81.$

1) Дано уравнение $x^4 + x^2 = 6$.

Это биквадратное уравнение. Перепишем его в стандартном виде:

$x^4 + x^2 - 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $\text{y}$:

$y^2 + y - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, произведение корней равно $-6$, а их сумма равна $-1$. Корни легко подбираются: $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $\text{x}$, выполнив обратную замену.

Случай 1: $y_1 = 2$

$x^2 = 2$

Отсюда $x = \pm\sqrt{2}$. Получаем два корня: $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.

Случай 2: $y_2 = -3$

$x^2 = -3$

Отсюда $x = \pm\sqrt{-3}$. Так как мы решаем уравнение в комплексных числах, $\sqrt{-1} = i$.

$x = \pm\sqrt{3 \cdot (-1)} = \pm\sqrt{3} \cdot \sqrt{-1} = \pm i\sqrt{3}$.

Получаем еще два корня: $x_3 = i\sqrt{3}$ и $x_4 = -i\sqrt{3}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}, x_3 = i\sqrt{3}, x_4 = -i\sqrt{3}$.

2) Дано уравнение $x^4 - 1 = 0$.

Это уравнение можно решить, разложив левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1. $x^2 - 1 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm\sqrt{1}$, что дает корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

2. $x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

$x = \pm\sqrt{-1}$, что по определению мнимой единицы дает корни $x_3 = i$ и $x_4 = -i$.

Таким образом, мы нашли все четыре корня уравнения.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1, x_3 = i, x_4 = -i$.

3) Дано уравнение $x^4 = 81$.

Перенесем 81 в левую часть:

$x^4 - 81 = 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2 = (x^2 - 9)(x^2 + 9) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни.

1. $x^2 - 9 = 0$

$x^2 = 9$

$x = \pm\sqrt{9}$, что дает корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

2. $x^2 + 9 = 0$

$x^2 = -9$

$x = \pm\sqrt{-9} = \pm\sqrt{9 \cdot (-1)} = \pm 3\sqrt{-1}$.

Используя определение $i = \sqrt{-1}$, получаем корни $x_3 = 3i$ и $x_4 = -3i$.

Таким образом, мы нашли все четыре комплексных корня.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -3, x_3 = 3i, x_4 = -3i$.