Номер 5.63, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.63. Решите уравнение на множестве комплексных чисел и разложите многочлен на линейные множители:

1) $x^2 + x + 1 = 0$;
2) $x^3 + x^2 + 2x - 4 = 0$;
3) $x^2 + 3x + 4 = 0$;
4) $x^3 - 27 = 0$;
5) $x^3 - 4x^2 - 4x - 5 = 0$;
6) $x^3 + 8x^2 + 15x + 18 = 0$.

1)

Для решения квадратного уравнения $x^2 + x + 1 = 0$ воспользуемся формулой корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ – дискриминант.

В данном случае $a=1$, $b=1$, $c=1$.

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения являются комплексными числами. $x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ и $x_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Разложение многочлена на линейные множители имеет вид $(x - x_1)(x - x_2)$. $x^2 + x + 1 = \left(x - \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\right)\left(x - \left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\right) = \left(x + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(x + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$.

Ответ: корни уравнения: $x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$; разложение: $\left(x + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(x + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$.

2)

Для решения кубического уравнения $x^3 + x^2 + 2x - 4 = 0$ найдем один из корней подбором среди делителей свободного члена (числа -4): $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Проверим $x=1$: $1^3 + 1^2 + 2(1) - 4 = 1 + 1 + 2 - 4 = 0$. Следовательно, $x_1=1$ является корнем уравнения, а многочлен $x^3 + x^2 + 2x - 4$ делится на $(x-1)$ без остатка.

Разделим многочлен $x^3 + x^2 + 2x - 4$ на $(x-1)$ (например, по схеме Горнера или "в столбик"). $(x^3 + x^2 + 2x - 4) : (x-1) = x^2 + 2x + 4$.

Теперь уравнение можно записать в виде $(x-1)(x^2 + 2x + 4) = 0$. Решим оставшееся квадратное уравнение $x^2 + 2x + 4 = 0$. $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. $x = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$.

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -1 + i\sqrt{3}$, $x_3 = -1 - i\sqrt{3}$.

Разложение многочлена на линейные множители: $x^3 + x^2 + 2x - 4 = (x-1)(x - (-1+i\sqrt{3}))(x - (-1-i\sqrt{3})) = (x-1)(x+1-i\sqrt{3})(x+1+i\sqrt{3})$.

Ответ: корни уравнения: $x_1 = 1, x_{2,3} = -1 \pm i\sqrt{3}$; разложение: $(x-1)(x+1-i\sqrt{3})(x+1+i\sqrt{3})$.

3)

Для решения квадратного уравнения $x^2 + 3x + 4 = 0$ воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

$a=1$, $b=3$, $c=4$. $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Корни являются комплексными: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{-7}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm i\sqrt{7}}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}i$ и $x_2 = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2}i$.

Разложение многочлена на линейные множители: $x^2 + 3x + 4 = \left(x - \left(-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}i\right)\right)\left(x - \left(-\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2}i\right)\right) = \left(x + \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2}i\right)\left(x + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}i\right)$.

Ответ: корни уравнения: $x_{1,2} = -\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{7}}{2}i$; разложение: $\left(x + \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2}i\right)\left(x + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}i\right)$.

4)

Уравнение $x^3 - 27 = 0$ можно переписать как $x^3 = 27$. Один действительный корень очевиден: $x_1 = 3$.

Для нахождения остальных корней разложим многочлен по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$: $x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2 + 3x + 9) = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 + 3x + 9 = 0$. $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27$. $x = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{-3 \pm 3i\sqrt{3}}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -\frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$, $x_3 = -\frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}i$.

Разложение многочлена на линейные множители: $x^3 - 27 = (x-3)\left(x - \left(-\frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i\right)\right)\left(x - \left(-\frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}i\right)\right) = (x-3)\left(x + \frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}i\right)\left(x + \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i\right)$.

Ответ: корни уравнения: $x_1 = 3, x_{2,3} = -\frac{3}{2} \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}i$; разложение: $(x-3)\left(x + \frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}i\right)\left(x + \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i\right)$.

5)

Для решения уравнения $x^3 - 4x^2 - 4x - 5 = 0$ найдем один из корней подбором среди делителей свободного члена (-5): $\pm 1, \pm 5$.

Проверим $x=5$: $5^3 - 4(5^2) - 4(5) - 5 = 125 - 4(25) - 20 - 5 = 125 - 100 - 20 - 5 = 0$. Следовательно, $x_1=5$ является корнем.

Разделим многочлен $x^3 - 4x^2 - 4x - 5$ на $(x-5)$: $(x^3 - 4x^2 - 4x - 5) : (x-5) = x^2 + x + 1$.

Уравнение принимает вид $(x-5)(x^2 + x + 1) = 0$. Решим квадратное уравнение $x^2 + x + 1 = 0$. Это уравнение уже было решено в пункте 1. $x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = 5$, $x_2 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $x_3 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Разложение многочлена на линейные множители: $x^3 - 4x^2 - 4x - 5 = (x-5)\left(x - \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\right)\left(x - \left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\right) = (x-5)\left(x + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(x + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$.

Ответ: корни уравнения: $x_1 = 5, x_{2,3} = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$; разложение: $(x-5)\left(x + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(x + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$.

6)

Для решения уравнения $x^3 + 8x^2 + 15x + 18 = 0$ найдем один из корней подбором среди делителей свободного члена (18). Так как все коэффициенты положительны, действительные корни могут быть только отрицательными: $-1, -2, -3, -6, ...$

Проверим $x=-6$: $(-6)^3 + 8(-6)^2 + 15(-6) + 18 = -216 + 8(36) - 90 + 18 = -216 + 288 - 90 + 18 = 0$. Следовательно, $x_1=-6$ является корнем.

Разделим многочлен $x^3 + 8x^2 + 15x + 18$ на $(x+6)$: $(x^3 + 8x^2 + 15x + 18) : (x+6) = x^2 + 2x + 3$.

Уравнение принимает вид $(x+6)(x^2 + 2x + 3) = 0$. Решим квадратное уравнение $x^2 + 2x + 3 = 0$. $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. $x = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{2}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = -6$, $x_2 = -1 + i\sqrt{2}$, $x_3 = -1 - i\sqrt{2}$.

Разложение многочлена на линейные множители: $x^3 + 8x^2 + 15x + 18 = (x-(-6))(x - (-1+i\sqrt{2}))(x - (-1-i\sqrt{2})) = (x+6)(x+1-i\sqrt{2})(x+1+i\sqrt{2})$.

Ответ: корни уравнения: $x_1 = -6, x_{2,3} = -1 \pm i\sqrt{2}$; разложение: $(x+6)(x+1-i\sqrt{2})(x+1+i\sqrt{2})$.