Номер 5.67, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.67. Зная, что $z = 6$ - корень уравнения $z^3 - 10z^2 + 37z + p = 0$:

1) найдите значение p;

2) определите остальные корни.

1) найдите значение p;

Поскольку $z = 6$ является корнем уравнения $z^3 - 10z^2 + 37z + p = 0$, то при подстановке этого значения в уравнение мы получим верное равенство. Подставим $z = 6$ в уравнение:

$6^3 - 10 \cdot 6^2 + 37 \cdot 6 + p = 0$

Выполним вычисления:

$216 - 10 \cdot 36 + 222 + p = 0$

$216 - 360 + 222 + p = 0$

$438 - 360 + p = 0$

$78 + p = 0$

Отсюда находим значение $\text{p}$:

$p = -78$

Ответ: $p = -78$.

2) определите остальные корни.

Теперь, когда мы знаем значение $\text{p}$, уравнение принимает вид:

$z^3 - 10z^2 + 37z - 78 = 0$

Так как $z_1 = 6$ является корнем этого уравнения, многочлен в левой части делится на $(z - 6)$ без остатка. Выполним деление многочлена $z^3 - 10z^2 + 37z - 78$ на двучлен $(z - 6)$. В результате деления получаем частное $z^2 - 4z + 13$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде произведения множителей:

$(z - 6)(z^2 - 4z + 13) = 0$

Остальные корни уравнения являются корнями квадратного уравнения:

$z^2 - 4z + 13 = 0$

Для решения этого уравнения используем формулу корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$

Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексно-сопряженными:

$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6i}{2}$

Находим два других корня:

$z_2 = \frac{4 + 6i}{2} = 2 + 3i$

$z_3 = \frac{4 - 6i}{2} = 2 - 3i$

Итак, остальные корни уравнения — это $2 + 3i$ и $2 - 3i$.

Ответ: $2 + 3i$ и $2 - 3i$.