Номер 5.71, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.71*. Пусть $\bar{z}$ число, сопряженное комплексному числу $\text{z}$. Найдите значение $\text{z}$, удовлетворяющее следующему уравнению:

1) $z^2 + \bar{z} = 0$;

2) $z^2 - \bar{z} = 0$.

1) $z^2 + \bar{z} = 0$

Представим комплексное число $\text{z}$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $\text{x}$ и $\text{y}$ – действительные числа. Тогда сопряженное ему число будет $\bar{z} = x - iy$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(x + iy)^2 + (x - iy) = 0$

Раскроем скобки:

$x^2 + 2ixy + (iy)^2 + x - iy = 0$

$x^2 + 2ixy - y^2 + x - iy = 0$

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$(x^2 - y^2 + x) + i(2xy - y) = 0$

Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю. Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 + x = 0 \\ 2xy - y = 0 \end{cases}$

Решим второе уравнение: $y(2x - 1) = 0$. Отсюда следует, что либо $y = 0$, либо $2x - 1 = 0$.

Случай 1: $y = 0$.

Подставим $y = 0$ в первое уравнение системы:

$x^2 - 0^2 + x = 0 \implies x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0$

Отсюда получаем два значения для $\text{x}$: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, мы нашли два решения для $\text{z}$:

$z_1 = 0 + i \cdot 0 = 0$

$z_2 = -1 + i \cdot 0 = -1$

Случай 2: $2x - 1 = 0$, то есть $x = 1/2$.

Подставим $x = 1/2$ в первое уравнение системы:

$(1/2)^2 - y^2 + 1/2 = 0$

$1/4 - y^2 + 1/2 = 0$

$3/4 - y^2 = 0 \implies y^2 = 3/4$

Отсюда получаем два значения для $\text{y}$: $y_3 = \sqrt{3}/2$ и $y_4 = -\sqrt{3}/2$.

Таким образом, мы нашли еще два решения для $\text{z}$:

$z_3 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$z_4 = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Всего найдено четыре значения $\text{z}$.

Ответ: $z = 0$, $z = -1$, $z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $z = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) $z^2 - \bar{z} = 0$

Аналогично первому пункту, представим $z = x + iy$ и $\bar{z} = x - iy$. Подставим в уравнение:

$(x + iy)^2 - (x - iy) = 0$

$x^2 + 2ixy - y^2 - x + iy = 0$

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$(x^2 - y^2 - x) + i(2xy + y) = 0$

Приравниваем действительную и мнимую части к нулю, получая систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 - x = 0 \\ 2xy + y = 0 \end{cases}$

Решим второе уравнение: $y(2x + 1) = 0$. Отсюда следует, что либо $y = 0$, либо $2x + 1 = 0$.

Случай 1: $y = 0$.

Подставим $y = 0$ в первое уравнение системы:

$x^2 - 0^2 - x = 0 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$

Получаем два значения для $\text{x}$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Таким образом, мы нашли два решения для $\text{z}$:

$z_1 = 0 + i \cdot 0 = 0$

$z_2 = 1 + i \cdot 0 = 1$

Случай 2: $2x + 1 = 0$, то есть $x = -1/2$.

Подставим $x = -1/2$ в первое уравнение системы:

$(-1/2)^2 - y^2 - (-1/2) = 0$

$1/4 - y^2 + 1/2 = 0$

$3/4 - y^2 = 0 \implies y^2 = 3/4$

Получаем два значения для $\text{y}$: $y_3 = \sqrt{3}/2$ и $y_4 = -\sqrt{3}/2$.

Таким образом, мы нашли еще два решения для $\text{z}$:

$z_3 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$z_4 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Всего найдено четыре значения $\text{z}$.

Ответ: $z = 0$, $z = 1$, $z = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $z = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.