Номер 5.66, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.66. Один из корней уравнения $2z^3 - z^2 + 4z + k = 0$ равен числу $z = 1 + 2i$.

1) Определите другой комплексный корень уравнения.

2) Найдите действительный корень уравнения и значение $\text{k}$.

1) Определите другой комплексный корень уравнения.

Дано уравнение $2z^3 - z^2 + 4z + k = 0$. Коэффициенты этого многочлена (2, -1, 4) являются действительными числами. Если предположить, что $\text{k}$ также является действительным числом, можно применить теорему о комплексных сопряженных корнях. Согласно этой теореме, если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень, то сопряженное к нему число также является корнем этого многочлена.

Один из корней уравнения задан как $z_1 = 1 + 2i$.

Следовательно, комплексно-сопряженное ему число $z_2 = \overline{z_1} = \overline{1 + 2i} = 1 - 2i$ также является корнем данного уравнения.

Ответ: $1 - 2i$.

2) Найдите действительный корень уравнения и значение k.

Из первого пункта мы знаем два комплексных корня уравнения: $z_1 = 1 + 2i$ и $z_2 = 1 - 2i$. Уравнение является кубическим, следовательно, оно имеет три корня. Так как комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами всегда встречаются сопряженными парами, третий корень, обозначим его $z_3$, должен быть действительным числом.

Для нахождения $z_3$ и $\text{k}$ воспользуемся формулами Виета для кубического уравнения вида $az^3 + bz^2 + cz + d = 0$. Для нашего уравнения $a=2$, $b=-1$, $c=4$, $d=k$.

Согласно формулам Виета:

1. Сумма корней: $z_1 + z_2 + z_3 = -\frac{b}{a}$.

2. Произведение корней: $z_1 z_2 z_3 = -\frac{d}{a}$.

Подставим известные значения в формулу для суммы корней:

$(1 + 2i) + (1 - 2i) + z_3 = -\frac{-1}{2}$

$2 + z_3 = \frac{1}{2}$

$z_3 = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$.

Таким образом, действительный корень уравнения равен $-\frac{3}{2}$.

Теперь используем формулу для произведения корней, чтобы найти $\text{k}$. Сначала вычислим произведение комплексных корней:

$z_1 z_2 = (1 + 2i)(1 - 2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - 4i^2 = 1 + 4 = 5$.

Подставим все три корня в формулу произведения:

$z_1 z_2 z_3 = 5 \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{15}{2}$.

Теперь приравняем это к выражению из формулы Виета:

$-\frac{15}{2} = -\frac{k}{2}$

$k = 15$.

Найденное значение $k=15$ является действительным числом, что подтверждает начальное предположение и правомерность использования теоремы о сопряженных корнях.

Ответ: действительный корень равен $-\frac{3}{2}$, значение $k=15$.