Номер 5.68, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.68. Комплексное число $a = 1 + i$ является корнем уравнения $z^3 + 3z^2 + pz + q = 0$ (здесь $\text{p}$ и $\text{q}$ - действительные числа). Покажите, что $p = -8$ и $q = 10$, предварительно посчитав $a^2$ и $a^3$ и подставив найденные значения в уравнение. Найдите два оставшихся корня уравнения.

Покажите, что p = -8 и q = 10

По условию, комплексное число $a = 1 + i$ является корнем уравнения $z³ + 3z² + pz + q = 0$, где $\text{p}$ и $\text{q}$ – действительные числа. Чтобы доказать требуемые значения $\text{p}$ и $\text{q}$, сначала вычислим $a^2$ и $a^3$.

Квадрат числа $\text{a}$:

$a^2 = (1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

Куб числа $\text{a}$:

$a^3 = a^2 \cdot a = 2i(1 + i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i$.

Теперь подставим $z = a = 1+i$ и найденные значения $a^2 = 2i$ и $a^3 = -2 + 2i$ в исходное уравнение:

$a^3 + 3a^2 + pa + q = 0$

$(-2 + 2i) + 3(2i) + p(1 + i) + q = 0$

Раскроем скобки и сгруппируем действительные и мнимые части выражения:

$-2 + 2i + 6i + p + pi + q = 0$

$(-2 + p + q) + (2 + 6 + p)i = 0$

$(p + q - 2) + (p + 8)i = 0$

Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю. Это приводит к системе из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} p + q - 2 = 0 & \text{(действительная часть)} \\ p + 8 = 0 & \text{(мнимая часть)} \end{cases}$

Из второго уравнения находим значение $\text{p}$:

$p = -8$

Подставим найденное значение $\text{p}$ в первое уравнение, чтобы найти $\text{q}$:

$-8 + q - 2 = 0$

$q - 10 = 0$

$q = 10$

Таким образом, мы показали, что $p = -8$ и $q = 10$.

Ответ: $p = -8$ и $q = 10$.

Найдите два оставшихся корня уравнения

После подстановки найденных значений $p = -8$ и $q = 10$ уравнение принимает вид:

$z³ + 3z² - 8z + 10 = 0$

Известно, что один из корней этого уравнения — $z_1 = 1 + i$. Так как все коэффициенты данного полинома (1, 3, -8, 10) являются действительными числами, то комплексно-сопряженное к $z_1$ число также должно быть корнем этого уравнения.

Следовательно, второй корень — это $z_2 = \overline{z_1} = \overline{1 + i} = 1 - i$.

Для нахождения третьего корня $z_3$ воспользуемся теоремой Виета. Для кубического уравнения вида $z^3 + Bx^2 + Cx + D = 0$ сумма корней равна $-B$. В нашем случае $B=3$, поэтому:

$z_1 + z_2 + z_3 = -3$

Подставим значения известных корней $z_1$ и $z_2$:

$(1 + i) + (1 - i) + z_3 = -3$

Упростим выражение:

$2 + z_3 = -3$

Отсюда находим третий корень:

$z_3 = -3 - 2 = -5$

Таким образом, два оставшихся корня уравнения — это $1 - i$ и $-5$.

Ответ: $1 - i$, $-5$.