Практическая работа, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

Сумма, начисленная по депозиту с непрерывным сложным процентом, вычисляется по следующей формуле: $u_n = u_0 (1 + i)^n$, где $u_n$ — конечная сумма, $u_0$ — первоначальная сумма вклада, $\text{i}$ — процентный прирост за ограниченный промежуток времени, а $\text{n}$ — количество периодов начисления процентов на счет вкладчика. Рассчитаем конечную сумму за большой период времени.

В задаче дана формула для расчета суммы по депозиту со сложным процентом, начисляемым дискретно (через определенные периоды времени):

$u_n = u_0(1 + i)^n$

где $u_n$ — конечная сумма, $u_0$ — первоначальная сумма, $\text{i}$ — процентная ставка за один период, а $\text{n}$ — количество периодов.

Задание "рассчитаем конечную сумму за большой период времени" можно трактовать как нахождение формулы для случая, когда проценты начисляются непрерывно. Это означает, что количество периодов начисления $\text{n}$ в течение заданного времени стремится к бесконечности, а длительность каждого периода, соответственно, стремится к нулю.

Для вывода этой формулы введем следующие обозначения:

• Пусть $\text{r}$ — годовая процентная ставка (в долях, например, 10% = 0.1).

• Пусть $\text{t}$ — общий срок вклада в годах.

• Пусть $\text{k}$ — количество раз, которое проценты начисляются в течение года (количество периодов начисления в год).

Тогда процентная ставка за один короткий период $\text{i}$ составит $i = \frac{r}{k}$, а общее количество периодов начисления $\text{n}$ за время $\text{t}$ будет равно $n = k \cdot t$.

Подставим эти выражения в исходную формулу:

$u_n = u_0 \left(1 + \frac{r}{k}\right)^{kt}$

Чтобы перейти к непрерывному начислению, нужно найти предел этого выражения при $k \to \infty$ (количество начислений в год стремится к бесконечности).

$u(t) = \lim_{k \to \infty} u_0 \left(1 + \frac{r}{k}\right)^{kt}$

Вынесем $u_0$ за знак предела и преобразуем выражение:

$u(t) = u_0 \lim_{k \to \infty} \left[ \left(1 + \frac{r}{k}\right)^k \right]^t$

Рассмотрим предел выражения в квадратных скобках. Для этого воспользуемся вторым замечательным пределом, который гласит:

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

где $e \approx 2.71828$ — число Эйлера.

Сделаем замену переменной. Пусть $x = \frac{k}{r}$. Тогда $k = xr$. Когда $k \to \infty$, $\text{x}$ также стремится к бесконечности.

$\lim_{k \to \infty} \left(1 + \frac{r}{k}\right)^k = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{r}{xr}\right)^{xr} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{xr} = \lim_{x \to \infty} \left[ \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \right]^r$

Используя свойство предела степени, получаем:

$\left[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \right]^r = e^r$

Теперь подставим полученный результат $e^r$ обратно в формулу для $u(t)$:

$u(t) = u_0 (e^r)^t = u_0 e^{rt}$

Это и есть формула для расчета конечной суммы по депозиту с непрерывным начислением сложных процентов.

Ответ: Конечная сумма $u(t)$ при непрерывном начислении процентов за период времени $\text{t}$ вычисляется по формуле $u(t) = u_0 e^{rt}$, где $u_0$ - первоначальная сумма, $\text{r}$ - годовая процентная ставка, а $\text{e}$ - число Эйлера.