Вопросы, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какую функцию называют показательной?

2. Почему для определения показательной функции необходимо выполнение условий $a > 0, a \neq 1$?

3. Сформулируйте и докажите свойства показательной функции.

4. Постройте графики функций $y = 4^x$ и $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$.

1. Какую функцию называют показательной?

Показательной функцией называется функция вида $y = a^x$, где $\text{a}$ — заданное число, называемое основанием, а $\text{x}$ — переменная, называемая показателем. При этом на основание $\text{a}$ накладываются строгие ограничения: оно должно быть положительным и не равным единице, то есть $a > 0$ и $a \neq 1$.

Ответ: Показательной функцией называется функция вида $y = a^x$, где основание $a > 0$, $a \neq 1$, а $\text{x}$ — переменная.

2. Почему для определения показательной функции необходимо выполнение условий $a > 0, a \neq 1$?

Эти условия необходимы для того, чтобы показательная функция была хорошо определена для всех действительных чисел $\text{x}$ и обладала полезными свойствами, такими как непрерывность и монотонность. Рассмотрим, что происходит при нарушении этих условий:

• Случай $a = 1$. Если основание равно единице, функция превращается в $y = 1^x$. Так как единица в любой степени равна единице, мы получаем $y = 1$. Это функция-константа, ее график — прямая линия, параллельная оси абсцисс. Она не обладает свойствами, характерными для показательных функций (например, она не является строго монотонной), и её исключают из рассмотрения.

• Случай $a = 0$. Если основание равно нулю, функция $y = 0^x$ определена только для $x > 0$ (где она равна 0). При $x=0$ выражение $0^0$ является неопределенностью, а при $x < 0$ (например, $x=-1$) мы получили бы $0^{-1} = 1/0$, что не определено. Таким образом, функция не определена на всей числовой оси.

• Случай $a < 0$ (отрицательное основание). Если $\text{a}$ — отрицательное число, например, $a = -4$, то функция $y = (-4)^x$ не определена для большинства действительных значений $\text{x}$. Например, при $x = \frac{1}{2}$ мы бы получили $y = (-4)^{1/2} = \sqrt{-4}$, что не является действительным числом. Функция была бы определена лишь для некоторых рациональных $\text{x}$ и принимала бы знакопеременные значения, не будучи непрерывной.

Поэтому, чтобы избежать этих проблем и работать с функцией, которая определена и непрерывна для всех действительных $\text{x}$, вводят ограничения $a > 0$ и $a \neq 1$.

Ответ: Условия $a > 0$ и $a \neq 1$ необходимы, чтобы функция $y=a^x$ была определена для всех действительных чисел $\text{x}$, была непрерывной и монотонной, и не вырождалась в константу $y=1$.

3. Сформулируйте и докажите свойства показательной функции.

Основные свойства показательной функции $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$):

1. Область определения — множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

   Доказательство: Выражение $a^x$ при $a>0$ определено для любого действительного числа $\text{x}$.

2. Область значений — множество всех положительных действительных чисел, $E(y) = (0; +\infty)$.

   Доказательство: Так как основание $\text{a}$ положительно, то и его любая действительная степень $a^x$ будет положительным числом. Можно показать, что для любого положительного числа $y_0$ найдется такое $x_0$, что $a^{x_0} = y_0$ (этот $x_0$ равен $\log_a y_0$). Таким образом, функция принимает все положительные значения.

3. График функции проходит через точку $(0; 1)$.

   Доказательство: При подстановке $x=0$ в уравнение функции получаем $y = a^0 = 1$. Это верно для любого допустимого основания $\text{a}$.

4. Монотонность. Функция строго монотонна на всей области определения.

   • Если $a > 1$, функция строго возрастает (большему значению аргумента соответствует большее значение функции).
   • Если $0 < a < 1$, функция строго убывает (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

   Доказательство (для $a > 1$): Пусть $x_2 > x_1$. Нам нужно доказать, что $a^{x_2} > a^{x_1}$. Рассмотрим их отношение: $\frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} = a^{x_2-x_1}$. Так как $x_2 > x_1$, то разность $p = x_2-x_1 > 0$. Известно, что для любого $a>1$ и $p>0$ справедливо $a^p > 1$. Следовательно, $a^{x_2-x_1} > 1$, или $\frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} > 1$. Умножив обе части неравенства на положительное число $a^{x_1}$, получим $a^{x_2} > a^{x_1}$.

   Доказательство (для $0 < a < 1$): Пусть $x_2 > x_1$. Представим $\text{a}$ как $1/b$, где $b > 1$. Тогда $y = (1/b)^x = b^{-x}$. Так как $x_2 > x_1$, то $-x_2 < -x_1$. Поскольку основание $b>1$, функция $b^z$ возрастает, значит $b^{-x_2} < b^{-x_1}$, что и означает $a^{x_2} < a^{x_1}$.

5. Непрерывность. Функция непрерывна на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$. (Это свойство обычно принимается без доказательства в школьном курсе).

Ответ: Основные свойства показательной функции $y = a^x$: 1) Область определения $D(y) = \mathbb{R}$; 2) Область значений $E(y) = (0; +\infty)$; 3) График всегда проходит через точку $(0; 1)$; 4) Функция строго возрастает при $a>1$ и строго убывает при $0<a<1$; 5) Функция непрерывна на всей области определения.

4. Постройте графики функций $y = 4^x$ и $y = (\frac{1}{2})^x$.

Для построения графиков составим таблицы значений для каждой функции и нанесем точки на координатную плоскость, соединив их плавной кривой.

График функции $y = 4^x$

Основание $a=4 > 1$, значит, функция возрастающая. График проходит через точку $(0; 1)$.

График функции $y = (\frac{1}{2})^x$

Основание $a=1/2$, где $0 < a < 1$, значит, функция убывающая. График также проходит через точку $(0; 1)$.

Нанеся точки на координатную плоскость и соединив их, получим следующие графики:

Ответ: Графики функций $y = 4^x$ и $y = (\frac{1}{2})^x$ построены на основе анализа функций и таблиц ключевых точек, и показаны на изображении выше. График $y=4^x$ является возрастающим, а график $y=(\frac{1}{2})^x$ — убывающим. Оба графика проходят через точку $(0; 1)$ и асимптотически приближаются к оси Ox.