Номер 5.70, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.70. Решите уравнение на множестве комплексных чисел и разложите многочлен на линейные множители:

1) $x^3 - 6x + 9 = 0$;

2) $x^3 + 3x^2 - 3x - 1 = 0$;

3) $x^3 + 9x - 26 = 0$;

4) $x^3 - 4x + 2 = 0$;

5) $x^3 + 18x + 15 = 0$;

6) $x^3 + 9x^2 + 18x + 28 = 0$.

1) $x^3 - 6x + 9 = 0$

Найдем целые корни многочлена $P(x) = x^3 - 6x + 9$ среди делителей свободного члена 9: $\pm1, \pm3, \pm9$.

Проверкой устанавливаем, что $P(-3) = (-3)^3 - 6(-3) + 9 = -27 + 18 + 9 = 0$.

Следовательно, $x_1 = -3$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $x^3 - 6x + 9$ на двучлен $(x + 3)$ с помощью схемы Горнера или деления в столбик, получим:

$(x^3 - 6x + 9) : (x + 3) = x^2 - 3x + 3$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x + 3)(x^2 - 3x + 3) = 0$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 3x + 3 = 0$:

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.

Корни квадратного уравнения: $x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, мы нашли еще два корня: $x_2 = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $x_3 = \frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Корни исходного уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $x_3 = \frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Разложение многочлена на линейные множители:

$x^3 - 6x + 9 = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = (x + 3)(x - (\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}))(x - (\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}))$.

Ответ: Корни уравнения: $x_1 = -3, x_2 = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, x_3 = \frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Разложение на множители: $(x + 3)(x - \frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})(x - \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$.

2) $x^3 + 3x^2 - 3x - 1 = 0$

Найдем целые корни многочлена $P(x) = x^3 + 3x^2 - 3x - 1$ среди делителей свободного члена -1: $\pm1$.

Проверкой устанавливаем, что $P(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 3(1) - 1 = 1 + 3 - 3 - 1 = 0$.

Следовательно, $x_1 = 1$ является корнем уравнения. Разделим многочлен на $(x - 1)$:

$(x^3 + 3x^2 - 3x - 1) : (x - 1) = x^2 + 4x + 1$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 1)(x^2 + 4x + 1) = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 + 4x + 1 = 0$:

Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

Корни: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.

Таким образом, $x_2 = -2 + \sqrt{3}$ и $x_3 = -2 - \sqrt{3}$. Все корни действительные.

Корни исходного уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -2 + \sqrt{3}$, $x_3 = -2 - \sqrt{3}$.

Разложение многочлена на линейные множители:

$x^3 + 3x^2 - 3x - 1 = (x - 1)(x - (-2 + \sqrt{3}))(x - (-2 - \sqrt{3})) = (x - 1)(x + 2 - \sqrt{3})(x + 2 + \sqrt{3})$.

Ответ: Корни уравнения: $x_1 = 1, x_2 = -2 + \sqrt{3}, x_3 = -2 - \sqrt{3}$. Разложение на множители: $(x - 1)(x + 2 - \sqrt{3})(x + 2 + \sqrt{3})$.

3) $x^3 + 9x - 26 = 0$

Найдем целые корни многочлена $P(x) = x^3 + 9x - 26$ среди делителей свободного члена -26: $\pm1, \pm2, \pm13, \pm26$.

Проверкой устанавливаем, что $P(2) = 2^3 + 9(2) - 26 = 8 + 18 - 26 = 0$.

Следовательно, $x_1 = 2$ является корнем. Разделим многочлен на $(x - 2)$:

$(x^3 + 9x - 26) : (x - 2) = x^2 + 2x + 13$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 2)(x^2 + 2x + 13) = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 + 2x + 13 = 0$:

Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 4 - 52 = -48$.

Корни: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{-48}}{2} = \frac{-2 \pm i\sqrt{48}}{2} = \frac{-2 \pm 4i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm 2i\sqrt{3}$.

Таким образом, $x_2 = -1 + 2i\sqrt{3}$ и $x_3 = -1 - 2i\sqrt{3}$.

Корни исходного уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -1 + 2i\sqrt{3}$, $x_3 = -1 - 2i\sqrt{3}$.

Разложение многочлена на линейные множители:

$x^3 + 9x - 26 = (x - 2)(x - (-1 + 2i\sqrt{3}))(x - (-1 - 2i\sqrt{3})) = (x - 2)(x + 1 - 2i\sqrt{3})(x + 1 + 2i\sqrt{3})$.

Ответ: Корни уравнения: $x_1 = 2, x_2 = -1 + 2i\sqrt{3}, x_3 = -1 - 2i\sqrt{3}$. Разложение на множители: $(x - 2)(x + 1 - 2i\sqrt{3})(x + 1 + 2i\sqrt{3})$.

4) $x^3 - 4x + 2 = 0$

У многочлена нет целых корней. Применим формулу Кардано для решения уравнения вида $y^3 + py + q = 0$. В данном случае $p = -4$, $q = 2$.

Вычислим дискриминант Кардано: $D = (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 = (\frac{2}{2})^2 + (\frac{-4}{3})^3 = 1 - \frac{64}{27} = -\frac{37}{27}$.

Так как $D < 0$, уравнение имеет три различных действительных корня (неприводимый случай), которые выражаются через комплексные числа.

Обозначим $u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{D}} = \sqrt[3]{-1 + i\sqrt{\frac{37}{27}}} = \sqrt[3]{-1 + i\frac{\sqrt{111}}{9}}$.

Обозначим $v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{D}} = \sqrt[3]{-1 - i\sqrt{\frac{37}{27}}} = \sqrt[3]{-1 - i\frac{\sqrt{111}}{9}}$.

Значения кубических корней $\text{u}$ и $\text{v}$ выбираются так, чтобы выполнялось условие $uv = -p/3 = 4/3$.

Тогда три корня уравнения даются формулами:

$x_1 = u + v$

$x_2 = u\omega + v\omega^2 = -\frac{1}{2}(u+v) + i\frac{\sqrt{3}}{2}(u-v)$

$x_3 = u\omega^2 + v\omega = -\frac{1}{2}(u+v) - i\frac{\sqrt{3}}{2}(u-v)$

где $\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ — комплексный кубический корень из единицы.

Разложение многочлена на линейные множители: $x^3 - 4x + 2 = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$.

Ответ: Корни уравнения $x_1, x_2, x_3$ находятся по формулам Кардано, как указано выше. Разложение на множители: $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$.

5) $x^3 + 18x + 15 = 0$

У многочлена нет целых корней. Применим формулу Кардано. Здесь $p = 18$, $q = 15$.

Дискриминант Кардано: $D = (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 = (\frac{15}{2})^2 + (\frac{18}{3})^3 = \frac{225}{4} + 6^3 = \frac{225}{4} + 216 = \frac{225 + 864}{4} = \frac{1089}{4}$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет один действительный и два комплексно-сопряженных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{\frac{1089}{4}} = \frac{33}{2}$.

Находим вспомогательные величины $\text{u}$ и $\text{v}$:

$u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{D}} = \sqrt[3]{-\frac{15}{2} + \frac{33}{2}} = \sqrt[3]{\frac{18}{2}} = \sqrt[3]{9}$.

$v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{D}} = \sqrt[3]{-\frac{15}{2} - \frac{33}{2}} = \sqrt[3]{-\frac{48}{2}} = \sqrt[3]{-24} = -2\sqrt[3]{3}$.

Действительный корень: $x_1 = u + v = \sqrt[3]{9} - 2\sqrt[3]{3}$.

Комплексные корни: $x_{2,3} = -\frac{1}{2}(u+v) \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}(u-v)$.

$u-v = \sqrt[3]{9} - (-2\sqrt[3]{3}) = \sqrt[3]{9} + 2\sqrt[3]{3}$.

$x_2 = -\frac{1}{2}(\sqrt[3]{9} - 2\sqrt[3]{3}) + i\frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt[3]{9} + 2\sqrt[3]{3})$.

$x_3 = -\frac{1}{2}(\sqrt[3]{9} - 2\sqrt[3]{3}) - i\frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt[3]{9} + 2\sqrt[3]{3})$.

Разложение на множители: $x^3 + 18x + 15 = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$.

Ответ: Корни уравнения: $x_1 = \sqrt[3]{9} - 2\sqrt[3]{3}$, $x_{2,3} = -\frac{1}{2}(\sqrt[3]{9} - 2\sqrt[3]{3}) \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt[3]{9} + 2\sqrt[3]{3})$. Разложение на множители: $(x - (\sqrt[3]{9} - 2\sqrt[3]{3}))(x - x_2)(x - x_3)$, где $x_2, x_3$ — указанные комплексные корни.

6) $x^3 + 9x^2 + 18x + 28 = 0$

Найдем целые корни многочлена $P(x) = x^3 + 9x^2 + 18x + 28$ среди делителей свободного члена 28.

Проверкой устанавливаем, что $P(-7) = (-7)^3 + 9(-7)^2 + 18(-7) + 28 = -343 + 9(49) - 126 + 28 = -343 + 441 - 126 + 28 = 0$.

Следовательно, $x_1 = -7$ является корнем. Разделим многочлен на $(x + 7)$:

$(x^3 + 9x^2 + 18x + 28) : (x + 7) = x^2 + 2x + 4$.

Уравнение принимает вид:

$(x + 7)(x^2 + 2x + 4) = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 + 2x + 4 = 0$:

Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.

Корни: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$.

Таким образом, $x_2 = -1 + i\sqrt{3}$ и $x_3 = -1 - i\sqrt{3}$.

Корни исходного уравнения: $x_1 = -7$, $x_2 = -1 + i\sqrt{3}$, $x_3 = -1 - i\sqrt{3}$.

Разложение многочлена на линейные множители:

$x^3 + 9x^2 + 18x + 28 = (x - (-7))(x - (-1 + i\sqrt{3}))(x - (-1 - i\sqrt{3})) = (x + 7)(x + 1 - i\sqrt{3})(x + 1 + i\sqrt{3})$.

Ответ: Корни уравнения: $x_1 = -7, x_2 = -1 + i\sqrt{3}, x_3 = -1 - i\sqrt{3}$. Разложение на множители: $(x + 7)(x + 1 - i\sqrt{3})(x + 1 + i\sqrt{3})$.