Номер 5.72, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.72. Составьте многочлен четвертой степени, корнями которого являются комплексные числа $a = 1 + i$ и $b = 2 - i$.

Поскольку в условии не указано, что коэффициенты многочлена должны быть действительными, существует бесконечное множество решений. Однако, как правило, в таких задачах подразумевается нахождение многочлена с действительными (вещественными) коэффициентами. Это предположение является ключевым, так как для многочлена с действительными коэффициентами, если комплексное число $z = x + iy$ является его корнем, то и комплексно-сопряженное ему число $\bar{z} = x - iy$ также является его корнем.

В задаче даны два комплексных корня: $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = 2 - i$.

Следуя вышеуказанному свойству, найдем сопряженные им корни:

Для корня $z_1 = 1 + i$ сопряженным будет $z_3 = \overline{1+i} = 1 - i$.

Для корня $z_2 = 2 - i$ сопряженным будет $z_4 = \overline{2-i} = 2 + i$.

Таким образом, мы нашли все четыре корня искомого многочлена четвертой степени: $z_1 = 1+i$, $z_3 = 1-i$, $z_2 = 2-i$ и $z_4 = 2+i$.

Многочлен $P(z)$ со старшим коэффициентом, равным 1, можно представить в виде произведения линейных множителей, соответствующих его корням:

$P(z) = (z - z_1)(z - z_3)(z - z_2)(z - z_4)$

$P(z) = (z - (1+i))(z - (1-i)) \cdot (z - (2-i))(z - (2+i))$

Сгруппируем множители с комплексно-сопряженными корнями. Произведение $(z-w)(z-\bar{w})$ всегда дает квадратный трехчлен с действительными коэффициентами $z^2 - (w+\bar{w})z + w\bar{w}$.

Для первой пары корней ($1+i$ и $1-i$):

$(z - (1+i))(z - (1-i)) = ((z-1) - i)((z-1) + i) = (z-1)^2 - i^2 = z^2 - 2z + 1 - (-1) = z^2 - 2z + 2$.

Для второй пары корней ($2-i$ и $2+i$):

$(z - (2-i))(z - (2+i)) = ((z-2) + i)((z-2) - i) = (z-2)^2 - i^2 = z^2 - 4z + 4 - (-1) = z^2 - 4z + 5$.

Теперь перемножим полученные квадратные трехчлены, чтобы найти искомый многочлен $P(z)$:

$P(z) = (z^2 - 2z + 2)(z^2 - 4z + 5)$

$P(z) = z^2(z^2 - 4z + 5) - 2z(z^2 - 4z + 5) + 2(z^2 - 4z + 5)$

$P(z) = (z^4 - 4z^3 + 5z^2) - (2z^3 - 8z^2 + 10z) + (2z^2 - 8z + 10)$

Приведем подобные члены:

$P(z) = z^4 + (-4-2)z^3 + (5+8+2)z^2 + (-10-8)z + 10$

$P(z) = z^4 - 6z^3 + 15z^2 - 18z + 10$

Это многочлен четвертой степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются заданные числа и им сопряженные.

Ответ: $z^4 - 6z^3 + 15z^2 - 18z + 10$