Номер 5.65, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.65. Зная, что число $z = -4$ является корнем уравнения $z^3 + 6z^2 + 12z + 16 = 0$, найдите остальные корни уравнения.

Поскольку число $z_1 = -4$ является корнем уравнения $z^3 + 6z^2 + 12z + 16 = 0$, то многочлен $P(z) = z^3 + 6z^2 + 12z + 16$ делится нацело на двучлен $(z - z_1)$, то есть на $(z + 4)$.

Для того чтобы найти частное и, следовательно, остальные корни, разделим многочлен $P(z)$ на $(z+4)$. Это можно сделать, например, с помощью деления "в столбик" или по схеме Горнера.

Применим схему Горнера для деления на $z - (-4)$:

Коэффициенты многочлена: $1, 6, 12, 16$. Корень: $-4$.

1) Первый коэффициент (старший) сносим без изменений: $\text{1}$.

2) Умножаем его на корень и складываем со следующим коэффициентом: $1 \cdot (-4) + 6 = 2$.

3) Повторяем операцию: $2 \cdot (-4) + 12 = 4$.

4) И еще раз: $4 \cdot (-4) + 16 = 0$.

Остаток равен 0, что подтверждает, что $z=-4$ является корнем. Коэффициенты частного — это полученные числа: $1, 2, 4$. Таким образом, результатом деления является многочлен второй степени $z^2 + 2z + 4$.

Исходное уравнение можно переписать в виде:

$(z+4)(z^2 + 2z + 4) = 0$

Один корень нам известен: $z_1 = -4$. Остальные корни являются решениями квадратного уравнения:

$z^2 + 2z + 4 = 0$

Найдем его корни с помощью стандартной формулы для корней квадратного уравнения $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где в нашем случае $a=1, b=2, c=4$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$

Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными.

$z_{2,3} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{12 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}i}{2}$

Упростим корень из 12: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Подставим это значение обратно в формулу для корней:

$z_{2,3} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$

Следовательно, остальные два корня уравнения — это комплексно-сопряженные числа:

$z_2 = -1 + i\sqrt{3}$

$z_3 = -1 - i\sqrt{3}$

Ответ: $-1 + i\sqrt{3}$, $-1 - i\sqrt{3}$.