Номер 5.62, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.62. Решите уравнение на множестве комплексных чисел:

1) $z^2 + 4iz - 13 = 0;$

2) $z^2 - 6iz - 10 = 0;$

3) $z^2 - iz - 0.5 = 0;$

4) $z^2 + 8iz - 25 = 0.$

1)

Для решения квадратного уравнения $z^2 + 4iz - 13 = 0$ воспользуемся формулой для нахождения корней. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=4i$, $c=-13$.

Найдем дискриминант $\Delta$ по формуле $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (4i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 16i^2 + 52 = -16 + 52 = 36$.

Корни уравнения находятся по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$z = \frac{-4i \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4i \pm 6}{2}$.

Таким образом, решениями являются: $z_1 = \frac{6 - 4i}{2} = 3 - 2i$ и $z_2 = \frac{-6 - 4i}{2} = -3 - 2i$.

Ответ: $3 - 2i; -3 - 2i$.

2)

Для уравнения $z^2 - 6iz - 10 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=-6i$, $c=-10$.

Вычислим дискриминант: $\Delta = b^2 - 4ac = (-6i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 36i^2 + 40 = -36 + 40 = 4$.

Находим корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$z = \frac{-(-6i) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6i \pm 2}{2}$.

Корни уравнения: $z_1 = \frac{2 + 6i}{2} = 1 + 3i$ и $z_2 = \frac{-2 + 6i}{2} = -1 + 3i$.

Ответ: $1 + 3i; -1 + 3i$.

3)

Для уравнения $z^2 - iz - 0,5 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=-i$, $c=-0,5$.

Вычислим дискриминант: $\Delta = b^2 - 4ac = (-i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0,5) = i^2 + 2 = -1 + 2 = 1$.

Находим корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$z = \frac{-(-i) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{i \pm 1}{2}$.

Корни уравнения: $z_1 = \frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ и $z_2 = \frac{-1 + i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$.

Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i; -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$.

4)

Для уравнения $z^2 + 8iz - 25 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=8i$, $c=-25$.

Вычислим дискриминант: $\Delta = b^2 - 4ac = (8i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 64i^2 + 100 = -64 + 100 = 36$.

Находим корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$z = \frac{-8i \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8i \pm 6}{2}$.

Корни уравнения: $z_1 = \frac{6 - 8i}{2} = 3 - 4i$ и $z_2 = \frac{-6 - 8i}{2} = -3 - 4i$.

Ответ: $3 - 4i; -3 - 4i$.