Номер 5.58, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.58. Разложите на линейные множители:

1) $x^2 - 9;$

2) $x^2 - 7;$

3) $x^2 + 7;$

4) $2x^2 + 9;$

5) $4x^2 - 1;$

6) $4x^2 + 1;$

7) $2x^2 - 9;$

8) $x^3 - x;$

9) $x^4 - 16;$

10) $x^4 - 1;$

11) $x^3 + x.$

1) Для разложения выражения $x^2 - 9$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.

Ответ: $(x - 3)(x + 3)$.

2) Для разложения выражения $x^2 - 7$ на множители представим 7 как $(\sqrt{7})^2$ и воспользуемся формулой разности квадратов.

$x^2 - 7 = x^2 - (\sqrt{7})^2 = (x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})$.

Ответ: $(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})$.

3) Для разложения выражения $x^2 + 7$ на линейные множители необходимо использовать комплексные числа, так как над полем действительных чисел оно нераскладываемо. Найдем корни уравнения $x^2 + 7 = 0$.

$x^2 = -7$

$x = \pm\sqrt{-7} = \pm i\sqrt{7}$.

Тогда разложение имеет вид $x^2 + 7 = (x - i\sqrt{7})(x + i\sqrt{7})$.

Ответ: $(x - i\sqrt{7})(x + i\sqrt{7})$.

4) Для разложения выражения $2x^2 + 9$ на линейные множители используем комплексные числа. Представим выражение как сумму квадратов и воспользуемся формулой $a^2 + b^2 = (a - bi)(a + bi)$.

$2x^2 + 9 = (\sqrt{2}x)^2 + 3^2 = (\sqrt{2}x)^2 - (3i)^2 = (\sqrt{2}x - 3i)(\sqrt{2}x + 3i)$.

Ответ: $(\sqrt{2}x - 3i)(\sqrt{2}x + 3i)$.

5) Для разложения выражения $4x^2 - 1$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов.

$4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1)$.

Ответ: $(2x - 1)(2x + 1)$.

6) Для разложения выражения $4x^2 + 1$ на линейные множители используем комплексные числа.

$4x^2 + 1 = (2x)^2 + 1^2 = (2x)^2 - i^2 = (2x - i)(2x + i)$.

Ответ: $(2x - i)(2x + i)$.

7) Для разложения выражения $2x^2 - 9$ на множители представим его в виде разности квадратов.

$2x^2 - 9 = (\sqrt{2}x)^2 - 3^2 = (\sqrt{2}x - 3)(\sqrt{2}x + 3)$.

Ответ: $(\sqrt{2}x - 3)(\sqrt{2}x + 3)$.

8) Сначала вынесем общий множитель $\text{x}$ за скобки.

$x^3 - x = x(x^2 - 1)$.

Затем разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов.

$x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)$.

Ответ: $x(x - 1)(x + 1)$.

9) Разложим выражение $x^4 - 16$ как разность квадратов.

$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$.

Первый множитель $x^2 - 4$ также является разностью квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Второй множитель $x^2 + 4$ разложим на линейные множители с помощью комплексных чисел: $x^2 + 4 = x^2 - (2i)^2 = (x - 2i)(x + 2i)$.

Собираем все множители вместе: $(x - 2)(x + 2)(x - 2i)(x + 2i)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x - 2i)(x + 2i)$.

10) Разложим выражение $x^4 - 1$ как разность квадратов.

$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$.

Первый множитель $x^2 - 1$ раскладывается как $(x - 1)(x + 1)$.

Второй множитель $x^2 + 1$ раскладывается с помощью комплексных чисел как $(x - i)(x + i)$.

Собираем все множители вместе: $(x - 1)(x + 1)(x - i)(x + i)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x - i)(x + i)$.

11) Сначала вынесем общий множитель $\text{x}$ за скобки.

$x^3 + x = x(x^2 + 1)$.

Выражение в скобках $x^2 + 1$ разложим на линейные множители с помощью комплексных чисел: $x^2 + 1 = (x - i)(x + i)$.

Итоговое разложение: $x(x - i)(x + i)$.

Ответ: $x(x - i)(x + i)$.