Номер 5.54, страница 169, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.54. Решите квадратное уравнение относительно комплексного числа x:

1) $x^2 + 9 = 0$;

2) $4x^2 - 9 = 0$;

3) $x^2 + 5 = 0$;

4) $x^2 - 25 = 0$;

5) $x^2 + 25 = 0$;

6) $x^2 - 5 = 0$.

1) $x^2 + 9 = 0$

Для решения уравнения перенесем 9 в правую часть:

$x^2 = -9$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку мы решаем уравнение в множестве комплексных чисел, мы можем извлечь корень из отрицательного числа, используя мнимую единицу $\text{i}$, где $i^2 = -1$.

$x = \pm\sqrt{-9}$

$x = \pm\sqrt{9 \cdot (-1)}$

$x = \pm\sqrt{9} \cdot \sqrt{-1}$

$x = \pm 3i$

Ответ: $\pm 3i$.

2) $4x^2 - 9 = 0$

Перенесем 9 в правую часть:

$4x^2 = 9$

Разделим обе части на 4:

$x^2 = \frac{9}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$

$x = \pm\frac{3}{2}$

В этом случае корни являются действительными числами, которые являются подмножеством комплексных чисел (с нулевой мнимой частью).

Ответ: $\pm \frac{3}{2}$.

3) $x^2 + 5 = 0$

Перенесем 5 в правую часть:

$x^2 = -5$

Извлечем квадратный корень из обеих частей, используя мнимую единицу $\text{i}$:

$x = \pm\sqrt{-5}$

$x = \pm\sqrt{5 \cdot (-1)}$

$x = \pm\sqrt{5} \cdot \sqrt{-1}$

$x = \pm i\sqrt{5}$

Ответ: $\pm i\sqrt{5}$.

4) $x^2 - 25 = 0$

Перенесем 25 в правую часть:

$x^2 = 25$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{25}$

$x = \pm 5$

Корни являются действительными числами.

Ответ: $\pm 5$.

5) $x^2 + 25 = 0$

Перенесем 25 в правую часть:

$x^2 = -25$

Извлечем квадратный корень, используя мнимую единицу $\text{i}$:

$x = \pm\sqrt{-25}$

$x = \pm\sqrt{25 \cdot (-1)}$

$x = \pm\sqrt{25} \cdot \sqrt{-1}$

$x = \pm 5i$

Ответ: $\pm 5i$.

6) $x^2 - 5 = 0$

Перенесем 5 в правую часть:

$x^2 = 5$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{5}$

Корни являются действительными (иррациональными) числами.

Ответ: $\pm\sqrt{5}$.