Номер 5.51, страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.51*. Докажите, что верна следующая формула:

$\sqrt{a + bi} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} + a}{2}} + i \frac{b}{|b|} \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} - a}{2}} \right).$

Для доказательства данной формулы возведем в квадрат выражение в скобках в правой части и покажем, что результат равен $a+bi$. Заметим, что формула содержит множитель $\frac{b}{|b|}$, который определен только при $b \neq 0$. Таким образом, доказательство проводится для случая $b \neq 0$.

Обозначим выражение в скобках через $\text{w}$: $w = \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} + a}{2}} + i \frac{b}{|b|} \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} - a}{2}}$. Возведем $\text{w}$ в квадрат, используя формулу $(x+iy)^2 = x^2-y^2+2ixy$. Действительная часть $\text{w}$ равна $x = \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} + a}{2}}$, а мнимая часть равна $y = \frac{b}{|b|} \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} - a}{2}}$.

Сначала проверим, что подкоренные выражения неотрицательны. Для любых действительных $\text{a}$ и $\text{b}$ выполняется неравенство $\sqrt{a^2+b^2} \ge \sqrt{a^2} = |a|$. Отсюда следует, что $\sqrt{a^2+b^2} \ge a$ и $\sqrt{a^2+b^2} \ge -a$. Поэтому $\sqrt{a^2+b^2} + a \ge 0$ и $\sqrt{a^2+b^2} - a \ge 0$, так что корни извлекаются из неотрицательных чисел.

Теперь вычислим действительную часть $w^2$, то есть $x^2 - y^2$: $x^2 = \left(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} + a}{2}}\right)^2 = \frac{\sqrt{a^2 + b^2} + a}{2}$. $y^2 = \left(\frac{b}{|b|} \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} - a}{2}}\right)^2 = \left(\frac{b}{|b|}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{a^2 + b^2} - a}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{a^2 + b^2} - a}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2} - a}{2}$. $x^2 - y^2 = \frac{\sqrt{a^2 + b^2} + a}{2} - \frac{\sqrt{a^2 + b^2} - a}{2} = \frac{(\sqrt{a^2 + b^2} + a) - (\sqrt{a^2 + b^2} - a)}{2} = \frac{2a}{2} = a$.

Далее вычислим мнимую часть $w^2$, то есть $2xy$: $2xy = 2 \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} + a}{2}} \right) \left( \frac{b}{|b|} \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} - a}{2}} \right) = 2 \frac{b}{|b|} \sqrt{\frac{(\sqrt{a^2 + b^2} + a)(\sqrt{a^2 + b^2} - a)}{4}}$. Используя формулу разности квадратов, получаем: $2xy = 2 \frac{b}{|b|} \sqrt{\frac{(\sqrt{a^2 + b^2})^2 - a^2}{4}} = 2 \frac{b}{|b|} \sqrt{\frac{a^2 + b^2 - a^2}{4}} = 2 \frac{b}{|b|} \sqrt{\frac{b^2}{4}} = 2 \frac{b}{|b|} \frac{|b|}{2} = b$.

Таким образом, мы получили, что $w^2 = (x^2 - y^2) + i(2xy) = a + bi$. Это означает, что $\text{w}$ является одним из квадратных корней из $a+bi$. Так как у любого ненулевого комплексного числа существует два квадратных корня, отличающихся знаком, то они равны $\pm w$. Следовательно, исходная формула верна.

Ответ: Формула доказана.